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非线性机翼Hopf分叉控制理论

王立才  
【摘要】:近年来,非线性振动系统的控制引起了广大学者的关注。非线性动力学系统产生动态失稳时,系统失去结构稳定性而产生分叉,影响正常工作,有的会造成灾难。在实际的工程问题中,当非线性动力学系统的线性部分具有一对共轭的亏损特征值,且该特征值为纯虚数时,则系统处于Hopf分叉的临界状态。此时系统参数的值为临界点,当参数在临界点附近变化时,亏损特征值将分解为孤立特征值,其中部分特征值具有正的实部(虚部不为零),使系统处于不稳定状态,产生颤振。这种现象经常被忽视,相关研究较少。有必要针对非线性系统动态Hopf分叉进行控制,使之稳定。本文利用矩阵的奇异值分解方法结合紧缩技术,用奇异值的数量来判断系统状态矩阵的亏损性,同时求解其各阶左右广义模态向量。针对亏损矩阵的摄动特征值问题,用小参数分数幂展开法,研究当系统参数经过Hopf分叉临界点时,非线性系统的线性部分的特征值变化规律,分析系统在Hopf分叉临界点的动态特性,进而判断系统的稳定性。从Jordan形非线性控制方程出发,用奇异值分解方法讨论了非线性系统的线性部分具有多个Jordan块,且各Jordan块的特征值分别为重复特征值(即各Jordan块的特征值相等)和孤立特征值(即各Jordan块的特征值互不相等)时,系统的可控可观性判断及其量度。利用多尺度法处理具有多个Jordan块的非线性动力学系统的单输入控制方程,结合极点配置法对此系统在Hopf分叉临界点进行反馈控制,使之达到渐进稳定的效果。得出了非线性亏损系统的一阶近似解,其中包括增益向量和输入,结果表明,该方法此系统控制是有效的。同时,提出了一种有效的非线性系统Hopf分叉优化控制方法,结合线性二次调节器方法,用矩阵变换来处理求解稳态Ricccati矩阵的Potter算法,因其基于简单的Jordan块形式,简化了计算。通过最优控制,获得了非线性系统线性部分的允许控制输入和轨迹,以获得最小化性能指标,经过模态最优控制后,系统是渐近稳定的,结果表明,该方法对中心子空间中具有多个亏损特征值的非线性系统的控制是有效的。


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