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B样条曲面间的光滑拼接算法

高占恒  
【摘要】:B样条曲线曲面是实体造型,虚拟现实等CAD/CAM领域中广泛使用的几何造型工具。它不仅继承了Bézier曲线曲面的所有优点,而且具有局部修改的性质,因此得到工业界的广泛认可。但在CAGD领域目前仍存在许多问题待解决。曲面片间几何连续问题便是其中一个重要的问题。目前为止,关于Bézier曲面的几何连续问题的讨论已经基本完善,但关于B样条曲面的几何连续的讨论还不多。 本文研究两片张量积B样条曲面(以双三次张量积B样条曲面为例)的G~1,G~2连续条件,并分别以三片和四片B样条曲面为例,研究了奇数面角点和偶数面角点处实现G~1拼接的相容性条件的实现,并给出了算法的具体流程。 本文所用的算法避免了将B样条曲面分裂成多片Bézier曲面后,对Bézier曲面进行拼接的弊端,直接给出两B样条曲面控制顶点所应满足的条件。下面简要介绍算法的思想。 设有两张B样条曲面B(u,v)和c(s,v),且B(0,v)=C(O,v)(G~0连续)。不妨设B,C在v方向具有相同的节点矢量,则B与C之间G~1连续等价于:其中,α(v),β(v),γ(v)是分段多项式函数.一般地,取α,β为常数,γ(v)是分段线性函数,则由[3]中所述知:C(0,v)是整体三次多项式曲线,γ(v)是整体线性函数,故设:γ(v)=γ_0(1-v)+γ_1v。那么,也是整体三次多项式曲线。由B样条基函数的基底性可知,可将表示为B样条的形式。设再设 吉林大学硕士学位论文 B样条曲面间的光滑拼接问题2 守(。)豁}。一。 =艺p,凡,3(v),则(*)式等价于 J=0 艺!a(bl。一b。,,)+口(el,,一e。,,)+p,]凡,3(。)=0 件a(bl,j一b。,,)+口(el,,一e。,,)+pj(J=0,1,…,。) 故只需固定bl,,,b0,j=c。,j,P,即可求出cl,j,从而使两B样条曲面实现Gl拼接. 下面给出此算法的流程: 算法1 st即1:将公共边界曲线叔v)转化为整体三次B样条曲线.方法是先用Ferguson 方法将拭v)用整体三次多项式曲线逼近.我们仍然用拭v)表示调整之后的公共 边界曲线.之后,利用B样条曲线反算的方法,将拭v)反算成三次B样条曲线, 记为 价(v)一艺玖从,3(”); StepZ:选取a,口,加,守l; steP3:将城v)咖(v)用B样条曲线反算的方法反求出其三次B样条控制顶点,记 为: :(v)功,(v)=艺p‘从,3(v), (3 .9) Step4:根据(3.8)将el‘求出,并用其来替换原来的e(s,v)的控制顶点el‘; 对护连续的问题,除了要求(*)式外,还需要关于B,C的二阶跨界导矢的 关系式,仍可仿照对Gl连续问题的处理思路,将cz,j修改,以达到梦拼接的 目的.即首先根据(*)式将cl,j修改,使B,C实现Gl拼接,之后根据类似的GZ 连续的条件,将c2,j修改,最终达到GZ连续的目的.算法如下: 算法2 吉林大学硕士学位论文 B样条曲面问的光滑拼接问题3 stepl:按算法1将B(二,v)和C(s,v)的控制顶点修改以使其达至IJG‘连续; stepZ:确定百,”。,刀,; stepa:按B样条反算的方法将(3.13)中的守(:)D6(。),守2(:)D7(。),刀(v)D3(v)改写 成B样条曲线的形式; step4:按照对应控制顶点,将c2、求出,并替换原来的。2、。 多片曲面实现G‘拼接的难点在于,若按照刚才的方法对每两个相邻的边界 进行G‘拼接,那么在围绕角点处的拼接条件将出现互相缠结的问题,因此我们 主要致力干如何解决这个矛盾. 首先,对三面角点问题,可能产生问题的方程为: { a,(E3一O)+口1(EZ一O)+ aZ(El一0)+热(Es一0)+ as(E:一0)+凡(El一0)+ (**) { al(G3一El)+口,(Gl一El)+Pl=0 aZ(G,一EZ)+热(G:一EZ)+Ql=0 a3(G:一E3)+凡(G3一E3)+Rl=0 (***) 式中玖,G‘,P‘,Q‘,凡的意义见第三章第三节. (**)式中主要是要求El一0,E:一0,E3一0共面,故可根据其共面的内在关 系,将久,反表示成昭的式子,即在El,EZ,E3,0确定且El一。,E:一。,E3一。 共面的情况下,(**)式有三个自由度.(***)式中未知量是G‘,而其系数矩阵是 非奇异的,故在确定了昭之后(从而确定了a、,反),酬各(***)式中的G‘解出, 用其替代原来的相应位置的点即可实现三片之间的G‘拼接.上面的方法对所有 的奇数面角点处的Gl拼接问题都有效.算法如下: 算法3: St即1:将曲面B,c,D的公共边界用整体三次多项式曲线逼近,并反求出其B 样条形式的控制顶点,分别记为H‘,I‘,J‘.注意,应该使HO=10=J。,以及 吉林大学硕士学位论文 B样条曲面间的光滑拼接问题4 Hl一Ho,11一10,JI一Jo共面; steP2:算出a‘,认·给定昭,(乞二1,2,3)继而将a‘,风求出,人为将公确定; step3:用反算B样条曲线的方法将:,(。)需1。一。,:2(。)豁l、一。,:3(w)瓷!。一。的B 样条控制顶点P‘,Q*,凡得到; Step4:解方程(3.19),得到Gl,GZ,G3,,并替换原来的相应点; StePS:利用算法1对每两片曲面进行拼接. 对四面角点,仍有类似(**)和(***)的式子,其中关于(**)的讨论是相同 的,即(**)式有4个自由度,但(***)式这时需要解的方程组的系数矩阵是奇 异的,进一步,还可得知其秩数为3,故其有解当且仅当方程组右端满足一定条 件.在构成方程组右端的诸向量中,HZ,12,JZ,K:是不受控制的,利用方程组的 形式


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