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偏微分方程边值问题的蒙特卡罗解法

刘春光  
【摘要】:蒙特卡罗方法是利用随机数进行随机试验,以求得的统计特征值(如均值、概率等)作为待解问题的数值解. 广泛应用于各个科学领域的研究. 传统上,人们都用迭代法来解决微分方程的边值问题,而随着计算机技术的发展,蒙特卡罗方法的优势逐渐为人们所认识. 随着计算机技术的快速发展,蒙特卡罗方法必将在数学领域的研究中发挥更大的作用. 本文从蒙特卡罗算法的基本原理和误差分析出发,主要对以下的模型进行了分析和研究,首先,在随机游动问题中介绍了离散和连续两种形式的游动问题. 在此基础上,对热传导方程的研究主要考虑了下面的两个模型: 1.齐次方程 (?)u/(?)t=a×((?)~2u/(?)x~2),x∈Ω=(0,1) 初始条件为 u(x,0)=φ(x) 边值条件 u(0,t)=μ_1(x),u(1,t)=μ_2(x) 2.非齐次方程 (?)u/(?)t=a×((?)~2u/(?)x~2)+s(x,t) 边界条件和初始条件为 WP=45 对上面两个模型,根据大数定律, 我们主要采取的都是产生伪随机数, 建立概率模型, 然后做随机游动, 使概率模型的数学期望依概率收敛到所求解. 对上述过程都做了详尽的分析. 尤其对于齐次情形, 令用六点差分格式, 得令, 整理得当时, 上式可以改写成其中, 系数设想一种随机游动过程, 位于点的粒子分别以概率向邻点游动至或边界点 , 此时赋值以.如果要想计算的值, 只需从点开始作这样的随机游动, 取得 WP=46 一个 的子样 ; 将此过程重复 次, 我们得到 , 于是 的无偏估计为 试验得到的误差结果较令人满意. 研究得到: 定理3.1 用蒙特卡罗方法计算齐次微分方程的边值问题, 为试验次数, 为 在边界网格点 上的值, 令 为满足方程的解 的估计值, 则对 , 注: 在用蒙特卡罗方法计算时, 其值具有概率性质, 从所得的误差表达式可以看出, 要降低计算的误差, 可以增加试验次数. 这种方法的主要优势是容易理解, 易于编程,省去很多建模时间. 由于利于并行计算, 即使增加计算次数也可以节省很多计算时间. 对高维情形的热传导方程也做了较详尽的讨论和误差分析. 非齐次椭圆型方程主要以泊松方程为例, 主要利用了拟蒙特卡罗方法与基本解相结合的方法, 化非齐次为齐次的思想, 来求解方程. 我们主要考虑了下面的模型: 这里 为给定函数. 我们考虑用特殊解把泊松方程转化为等价的齐次方程(拉普拉斯方程). WP=47 然后, 用基本解的方法, 来解拉普拉斯方程. 最后, 对蒙特卡罗方法与其他(如区域分解, 基本解等) 方法结合做了一些探索和思考, 关于这部分的详细分析和理论结果, 还有待于进一步完善和改进.


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