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辛映射低维不变环面的保持性

祝文壮  
【摘要】:本文主要研究带参数的辛映射(symplectic mapping)低维不变环面的保持性,我们证明了对大部分参数,扭转辛映射的椭圆型低维不变环面和双曲型低维不变环面在小的辛扰动下保持下来。 上世纪六十年代,著名数学家Kolmogorov,Arnold和Moser建立了KAM理论,该理论的建立具有划时代的意义,它给出了太阳系运行机制的一个合理解释,使得这一困扰人们很长时间的问题得到解决,也使人们对Hamilton系统有了新的认识,在KAM理论建立之前,人们一直认为几乎所有的Hamilton系统的轨道在其能量面上是遍历的,然而由KAM定理,典型的2n维近可积Hamilton系统的大部分轨道只在n维不变环面上遍历,并不在能量面(2n-1维)上遍历,同时,KAM理论的建立为人们研究近可积Hamilton系统和近扭转映射的动力学行为提供了一套系统的方法,并且在许多实际问题中得到了应用。 辛映射的KAM理论研究的是近扭转辛映射的动力学行为,所谓近扭转辛映射是指扭转映射加上小的扰动所得到的辛映射,在作用-角坐标下,扭转映射将相空间分成一个个不变环面,映射产生的轨道在不变环面上呈现拟周期运动,其频率互不相同,辛映射的KAM理论告诉我们:如果扭转项满足一定的条 吉林大学博士学位论文辛侠射低维不变环面的保持性H 件,在小扰动下近扭转辛映射的绝大部分不变环面将保持下来.辛映射的KAM 理论在数值计算已经中得到广泛的应用.CI,annel和Scovel,冯康,Sanz一Serna 和Calvo,尚在久等将它应用到可积Halnil七on系统的辛算法中,证明了在该算 法下不变环面的存在性和算法的收敛性.因此,对辛映射KAM理论的研究具 有重要的理论意义和实际应用价值. 以往研究近扭转辛映射得到的都是最高维数的不变环面的存在性.本文中, 我们对近扭转辛映射低维不变环面的存在性进行了研究,得到了几个KAM型 结果. 考虑近扭转辛映射且:T几xR”又R“‘义R”,x口。弓Tr‘又R“X Rm xR”‘ 示二.:+、0(荟)十 且:刀=刀_ :,分,,‘,公,苟), 句动动 了‘..、/‘.吸、、厂产r.、 丛即丛。幽。迅。 =U十 人2。(石)、‘+ 92〔)(石)公一 ,万,了不,?少 军,?必,,l) (1) 一 月t 一一 入,t) 其中O。是Rl()中的有界闭集.当P(,三。时,映射(l)为如下扭转映射 示=T+、〔,(石), 口二岁, 方=(I+公2。(石)),,, 公=(I+92。(石))一‘,: 它具有低维不变环面 ,T(岁)=Tx{万}X{()}X{O} (3) 当兑(,的形式不同时,这些低维不变环面的类型不同,在它们附近的动力学行 为也不同,研究在扰动下不变环面的保持性所需的条件和所用的方法也不同. 首先考虑椭圆型低维不变环面的保持性.假设 ‘2()=(liag{犷2。、、…,‘2。,了:},1+几。,=〔·2万门入。2〔£).(4) //t 」吉林大学博士学位论文.辛映射低维不变环面的保持性IH 则映射(2)的轨道在法空间中围绕原点旋转,既不向内收缩,也不向外扩张, 这时我们称(2)的低维不变环面,T(功为椭圆型低维不变环面.我们对近扭转 辛映射,进行KAM迭代时法向频率也将是产生小除数的因素,因此在迭代中 不光要考虑切向频率,还要考虑法向频率.所以迭代步骤中需要更加精细的计 算.由于多出了法向变量,使得我们要估算的量成倍增长.经过细致的计算, 我们证明了:当扭转辛映射满足某种条件时,加上小的扰动后,大部分不变环 面保持下来.另外,在这些不变环面上,映射的轨道呈现拟周期运动,频率与 原频率相差很小.表达成定理就是本文的第一个主要结果: 定理1考虑映射(l),其中、。二记,法向频率具(封的形式,且满足条件 }挚}_:,,、粤,1:、:。,::、:。 !,a勺”口任 (5) 并且几在复邻域D(:。,s0)x口,‘上实解析,且对任意石任O。,有尸任只(:,.e), 则对给定的参数守。,存在一个Cant,or集O,co(,和充分小的赵。,使得对任意 石任O,,当刀P,()且 ){PO 11。(,·,、)又。、若:。拼含 时,在低维不变环面丁勿)=T“x{刀}又{O}x{O}上,映射(2)的大部分轨道 在扰动映射(l)保持下来.确切地说,对若任口*,存在T”又R”xRmx卿“ 的一个Lagl’ange子流形几,(翻和一个微分同胚中Po(创使得 A(,TPo(石))=瓜(石), 小讨(()。几。小P0({)=又(、oo(()). 其中见(、的(动)是环面丁(功上频率为、OO(动的旋转映射,即 几(、co(石))二(x+、co(石),对,O,O) 此外,下面的估计成立 11、‘(石)一、。(著).1。,=O(z;合), ,,leas(口。\口,)=O(守。), 吉林大学博士学位论文辛映射低维不变环面的保持性工V 其次考虑双曲型低维不变环面的保持性,假设 (祝2) I+几。二E。(动具有饥个互不相同的特征值,并且每个特征值的模大于1. 此时映射(2)的轨道在法空间中沿?,方向向内收缩,沿。方向向外扩张.我们 称(2)白勺低维不变环面丁(川为双曲型低维不变环面.通过对映射法方向系数 矩阵的特征值进行精确估算,我们证明了:在加上扰动变成近扭转辛映射时, 法方向的量并不会进入小除数.但是,由于法方向有收缩和扩张,所以在迭代 的每一步中估算映射的定义域时


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