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数理金融学中的现代证券组合选择理论的均值—方差模型的等价性证明

赖民  
【摘要】:现代证券投资组合选择理论(MPT)要追溯到1990年的诺贝尔经济学奖得主马尔柯维茨(Markowitz)(1952,1959)。重要内容之一是:在由期望度量的收益α一定的情形下,通过所谓的风险-收益模型分析[44]来寻求使得风险最小的投资组合,同时投资者还有其它的策略可以选择,例如在所承受的风险σ_0范围内,寻求投资组合以获得尽可能大的收益.本文的主要目的是在得出的风险和收益的函数关系下,验证上述两个策略是等价的。 本文在允许“卖空”和不允许“卖空”的情形下,分别考虑不具有无风险资产和具有无风险资产的n种有风险证券的市场,寻求最优投资组合,同时验证上述两个策略对应的模型是等价的,假设这n种有风险证券的收益分别为x_1,x_2,…,x_n,无风险资产的收益用常数R_0表示。x=(x_1,x_2,…x_n)~T的期望值和它们的协方差矩阵分别记为 Ex=(Ex_1,Ex_2,…,Ex_n)~T=μ=(μ_1,μ_2,…,μ_n)~T,(μ_i不全相等), Var(x)=E(x-μ)(x-μ)~T=(Coy(x_i,x_j))=∑>0。用ω_0,ω_1,ω_2,…,ω_n分别表示投资者在无风险资产和这n种有风险证券上投入的资金量,则ω=(ω_1,ω_2,…,ω_n)~T或(ω_0,ω~T)~T称为一个投资组合,总和为1,1表示坐标全部为1的n维向量,ω~Tx的期望ω~Tμ和方差ω~TΣω分别表示投资组合ω的平均收益和投资风险。 吉林大学博士学位论文 理性的投资者通常有两类策略来选择投资组合: 给定平均收益下限a,求投资组合叨使风险最小; 给定平均风险上限a。,求投资组合叨使收益达到最大. .在允许“卖空”时,不具有无风险资产的。种有风险证券的投资组合模型如 L2.(i)下 nllll U) 切T艺牡) 1llaX 1I) f、IL 1犷卜 S. 切T拜全a 牡),I’1=1 (11) 切TI, 切T艺切 叨7’1 三ao =1 △=AC一BZ0. /..少、.‘、 t. S .、产 r卫 了J.、 如果令A=厂£一‘1,B=l’r艺一‘赵,C二拜T艺一,.则有 那么,当户的分量赵:不全相等时,我们有下面的定理: 定理2.1对于模型(I)而言,设二,为其最优投资组合,当 。昌日寸: _,C一刀a Aa一B、甲_ iv,=艺一’(—1+—以),2口士艺叨, △△ AaZ一ZBa+C △ AB、ql =丁《a一了)‘十二 △、AA 当。三瓮时: 艺一11 叭=一五丫 ,,_1 ~_‘l、、肉 叭“w*一万 定理2.2对于模型(11)而言,设切为其最优投资组合,当a。青时: B一A _,r IB、寿I石万二丁、、闷石不万, 叹)=艺一‘1(一一一一子一~)1+一一七三产一川,切‘拜== ‘’AA斌△’议△ 征诺不币二丁. —十 从而在定理2.1和定理2.2的条件下,模型(j)与模型(11)的最优投资组合是相 同的,利用模型(j)与模型(11)描述的这两种策略是等价的. (11).在允许“卖空”时,具有无风险资产的n种有风险证券的投资组合模型如 下: lzlin牡)7’艺,刀 ,nax尺。+,,,,I’(l,一R。1) 、,:rI’(l,一尺。1)Za一R0O 货I,rI’i二一,,)o三l (11)’ ,v,I’艺切三Jo ,v了’1二1一切。三 f才、..、 t. t8. 矛!/、.L t. 欲 、‘,.J 了了 了右几吸、 △一A 由I\’=A几若一ZBRO+C=A(R。 2+ B一A 第2页 中文摘要 那么,在拼的分量户*不全相等的情形下,我们有下面的定理: 定理3.1对于模型(I)‘而言,设伽。,,(w,)T)T为其最优投资组合,当aR。时: 丈万硫兰厄去戴五万艺一‘(‘另一R0‘), (a一 R。) (AR。一B)a一(BR。一C) A璐一ZBRO十C 71。(a一R0)2 W二乙切,一一,,二二二一一一一,,二,二丁= A儿百一2万场+C (a一凡)z K 定理3.2对于模型(11)‘而言,设(、0,。l’)T为其最优投资组合,则有 西石 了A璐一ZBRO十c 艺一‘(赵一Rol), 场十w伙l,一Rol)=R0十 (B一ARO). 这样在定理3.1和定理3.2的条件下,从模型(月‘与模型(11)‘分别得出的最优 投资组合是相同的,也就是说策略1与策略2是等价的. (iii).在不允许“卖空”(非负投资组合)时,不具有无风险资产的n种有风险证 券的投资组合模型如下: 111 In 1」J 叹 了1..才、.es、 t. S 、、,..矛 J理 rJ 了牙r,、 mT艺切 叨Tz, 切Tl 1llaX 侧 a 一1 l,2 wT拼 ,uT艺叨 叨Tl 切:资0 ’,7乙· 全0,乞= 兰JO =1 l,2,…,n. 了...夕、...、 日于‘ S. ‘、.刃产 r1 ‘了.1、 其中1=1。是坐标全部为l的n维向量.显然有 a〔Imin{共‘,,户2,…,z‘。},n,ax{,,,,矛‘2,…,l‘。}]. 不失一般性,将前无个资产收益(x,,xZ,…,x、)T对应的协方差矩阵记为£,,. /八,,A,。\ 令艺一’=!一“一“l,其中A;,是一kx人阶方阵.设Al=(AIL,AtZ)且A:一 、AZI A22/ (AZ,,A


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