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N维广义拟实数进制小波&小波矩理论及其应用

崔丽  
【摘要】:小波分析(多尺度分析)被认为是Fourier分析在二十世纪最重要的发展,也是数学研究史上的重要发现之一,它的理论和应用成为众多学科关注的热点。本文在小波分析的理论和应用两方面做了一些探索。 在理论上,我们打破了经典多尺度分析上下层空间的刚性限制和二进制限制,将其推广到n维广义拟实数进制多尺度分析,增加了构造小波的自由度。文中给出了它的定义,计算和构造方法。在二维物体表达中,改进了已有的二维小波矩描述子,提出了一种新型的分形指数描述子。同时首次在三维空间中将小波理论与矩不变量理论相结合,给出了三维小波矩的定义和性质。在应用上,我们将广义小波理论应用到了数字人切片数据的去噪处理,将二维小波矩应用到人体步态识别,将三维小波矩应用到三维物体的表示和识别。与以往的处理方法相比,这些方法均得到了比较好的效果。 本文的主要工作和创新之处归纳如下: 1.推广一维二进制广义多尺度分析到n维拟实数进制,给出n维广义正交和双正交拟实数进制多尺度分析的定义和相关定理,并证明了在此理论框架下,广义的Mallat算法仍然成立。 限于篇幅,这里以正交情形为例,给出其定义和相关定理。 定义1n维广义正交拟实数进制多尺度分析是由L~2(R~n)中的一列逼近空间{V_j}j∈Z组成。它们满足以下条件: 1.吟c铸+,,,任Z‘ 。.对任意的巧都存在一个函数{竹(x),二〔 灿,)}、。Z。构成巧的标准正交基,其中a,, 7rt:任N,我们称竹(x)为巧的尺度函数。 定理1设{a梦/,,,(a,二一丸‘)}、。二‘构成巧 二乞}。vj使得{叮/,、;(a:二- 乙,O任尺且勺乙:一l/妈a:一l= 的标准正交基,有双尺度方程 竹一1(a,一lx)= /与、”/2尸,,_,,,、,1、 惊丁少乙“又甲:、u:‘一凡U:),、;z J‘左〔Z,1 其中a;,乙:O任R且aj与一1/勿勺一1 =妈〔N 贝,l{ 鸟二1巧一l (a,一lx一k乙;一1)}、。:7泛 构成巧一,的标准正交基的充要条件是: 艺I价(、+2:二/了n,)l’ =了了‘了a·已 其中E,‘={(tl,tZ,…,t,:):0三t、三。,一l,t,:N},Itj(。)=艺,:二exp(一:人、)。 丸〔Z’‘ 定理2设函数空间{巧},。z是n维广义正交拟实数进制多尺度分析,其 中笋;(;r)是巧的尺度函数,且满足双尺度方程子]),再要求尹:(劝任 沪,(O) 示为 =1和艺}碟}oG。假设说一,(aj一lx):巧,1兰、 夕,心一1 Ll, 可以表 k〔Z’1 、1,、/a币、 月了‘,Ll广。~、_声JI 心洲石吸U,_1止I—侣—I J、J~,、,_, \以呀_11 J‘ ”/2尸, Z“界,s竹气与x一凡勺儿上垫5圣77与一上 无〔Zn 艺瞬5100,则玛一10巧一l= 人任Z’‘ 巧,{理恤一‘(aj一,一。;一1)二““三 一1}、。:”是哄一1的标准正交基的充要条件是 且 月,J 、.卜 n 艺G二(。+2‘二/。;,)G了(。+2:二/m,)一二梦占、,,o兰s,‘:了了,梦一1(3) 其中以(国)一马(田),G呈(?)一、奚。或,·exp(一‘无?)· 由于n维广义拟实数进制多尺度分析中保持了相邻两层空间的两尺度关 系,所以广义的Mallat算法仍然成立. 对实际信号f,日v,0 s.t.f任v,o.只需要考虑从v,0以后的相邻空间信号 之间的关系。这里记雌一(j,叮/,螂俩二一、0j)),吐。一(f,心/,课(a,二一、。;))。 }:面给出正交情形的Mallat算法。 分解公式: 雌一‘一艺川一幻n,弓 l〔Z,1 碟二,一艺旅、,n,弓,‘三“三,“梦一‘ 重构公式: ,”梦一l 城一艺城一俪,弓一’+艺艺或一l。;‘、嵘‘ s二]ICZ了飞 2.在护范数意义下,讨论了广义拟实数进制多尺度分析的求解和构造 方法。提出了三种形式消失矩的概念和相应的等价定理.最佳广义M进制小 波作为它的一种特殊形式,在数字人切片数据的去噪处理中发挥了优越性。 当滤波器有限和无限时,分别讨论正交和双正交情形下低频滤波器的求 解。滤波器无限时,需要逐点求解一个二次方程.滤波器有限时,需要求解二 次约束下的一个四次函数的最值.通过数值方法它们的求解是容易实现的。 在数字人的切片数据的去噪处理中,由于数据具有很大的相关性,因此可以用 少量的样本得出适合几乎所有数据的滤波器,它的计算复杂性不大。 1:维广义正交拟实数进制多尺度分析的构造方法如下: 1).根据实际需要,在约束条件(2)式下,选择某种意义下最佳的伪(叫。 2).然后,通过矩阵扩张方法得到满足(3)式的以(叫. 在n维广义正交拟实数进制小波分析的框架下,我们定义了3种形式的 消失矩,即经典,三角和混合消失矩.限于篇幅,这里只列出三角消失矩的定 义和等价定理. 定义2设在二维广义正交拟实数进制多尺度分析中,计亏一,空间的小波 函数是{诚一’(二)、二。R“,l兰、‘7n梦一1}.若 /5 in(


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