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求解大振幅非线性振动问题的若干解析逼近方法

李鹏松  
【摘要】:物理和力学中的振动系统通常用非线性微分方程来描述。对于某些特殊 情况,用线性化的微分方程代替非线性微分方程,能够给出原非线性方程的 一些有用结果。但多数情况下,这种线性化是不合理的,此时,只能直接研 究非线性微分方程。数学上求解线性微分方程的通用理论和方法已经非常成 熟,但是,对于任意的非线性微分方程的通用性质却知之甚少。一般情况下, 对于非线性方程的研究仅限于一些特殊的方程,而且,为了获得某个非线性 微分方程的解析逼近解,求解方法通常要涉及到有限的解析逼近技术中的一 种或几种。 在求解非线性微分方程的所有解析逼近方法中,应用最广泛研究也最多 是小参数摄动方法。这些方法将非线性微分方程的解展开为小参数的级数, 主要包括:L-P 法、KBM 法和多尺度法。但是,这些方法只能用于求解弱非 线性振动问题。谐波平衡法是另一类求解非线性微分方程的解析逼近方法, 该方法用截断的 Fourier 级数逼近非线性微分方程的解。它的突出特点是不 要求非线性微分方程中非线性项是小量,即不要求方程中含有小参数。谐波 平衡法一般要求非线性恢复力? f (x)为 x 的奇函数( x 代表任意瞬时运动质 点到稳定平衡点的距离), 否则该方法在求非线性振动方程的低阶解析逼近 解时会导出矛盾的情况。此外,应用谐波平衡法及其改进方法构造非线性振 1 WP=112 摘 要 动的高阶解析逼近解是很困难的,因为这要求复杂的非线性代数方程组的解 析解。 本文针对一维保守系统大振幅非线性振动问题,提出了几种新的解析逼 近方法。提出的这些新方法不要求非线性振动方程中含有小参数及位移的线 性项。这些方法的主要优点是求解过程简单,建立的解析逼近周期与周期解 既适用于小振幅又适用于大振幅,特别也包括振幅趋于无穷的情形,且都能 给出精度非常高的解析逼近结果。 1. 求解大振幅非线性振动问题的修正谐波平衡法 考虑如下的一维保守系统非线性振动方程 d2x + f (x)= 0, (1a) dt2 x(0) = β , dx (0)= 0. (1b) dt 引入新变量τ = ωt ,方程(1a,b)可以写为 ω2x′′+ f (x)= 0, (2a) x(0) = β , x′(0) = 0 (2b) 式中()表示对τ 求导。 新变量τ 的选取使得方程(2a,b)的解是关于τ 的以2π ' 为周期的周期函数,相应的原非线性振动的周期为T = 2π ω ,周期解 x(τ)及 频率ω 都与振幅β 有关。 令 x(τ)= x0(τ)+ ?x0(τ), 其中 x0(τ)是满足初始条件的周期解 x(τ)的初始 逼近,?x0(τ)是待求的周期解的校正部分,它们都是关于τ 的以2π 为周期的 周期函数。将非线性方程(2a,b)在 x(τ)= x0(τ)关于增量?x0(τ)线性化得 2 WP=113 摘 要 ω2x0′′ + f (x0)+ω2?x0′′ + fx(x0)?x0 = 0, (3a) ?x0(0)= 0, ?x0′(0)= 0. (3b) 用谐波平衡法求解关于?x0(τ)的线性方程(3a,b)可以给出原非线性振动方程 的解析逼近周期与周期解。 当非线性恢复力? f (x)为 x的奇函数 [ f (? x)= ? f (x)]时,令 x0(τ ) = β cosτ , (4a) ?x0(τ)= ci{cos[(2i ?1)τ]? cos[(2i +1)τ]}. ∑N (4b) i=1 当非线性恢复力? f (x)为 x的一般函数 [ f (? x)≠ ? f (x)]时,令 x0(τ ) =β +α β ?α + cosτ , (5a) 2 2 ?x0(τ)= ci{cos(iτ)?cos[(i + 2)τ]}. ∑N (5b) i=0 此外,我们还将修正谐波平衡法用于 Duffing-harmonic 振子以及非自然 系统振动问题,通过例子说明了此时本文提出的方法仍然能够给出高精度解 析逼近周期与周期解。 2. 求解大振幅非线性振动问题的迭代法 引入新变量τ = ωt,将方程(1a,b)写为 x′′ + x = x ?1 ω2 f (x):= g(x). (6a) x(0) = β , x′(0) = 0 (6b) 式中()表示对τ 求导。新变量τ 的选取使得方程(6a,b)的解是关于τ 的以2π ' 3 WP=114 摘 要 为周期的周期函数。相应的原非线性振动的周期为T = 2π ω ,周期解 x(τ)及 频率ω 都与振幅β 有关。 提出如下的迭代过程 xk′′+1 + xk = g(xk )+ gx(xk )(xk ? xk ), +1 ?1 ?1 ?1 (7a) xk (0) = β, xk′+1(0) = 0 , +1 k = 0,1,2,L. (7b) 当非线性恢复力? f (x)为 x的奇函数时,初始输入函数为


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