多元小波的构造及其应用

【摘要】：本文主要研究多元紧支集非张量积小波的构造及其应用。 论文由六章组成，第一章为绪论，简要介绍了小波和神经网络的发展概况。第2-5章是作者的研究工作(即摘要的1-5部分)。第六章为结论。 一．多元非张量积、紧支集、对称预小波的构造 以Ⅰ-型三角剖分Δ_(m,n)~1上的二元样条空间S_(3k+1)~(2k)(Δ_(m,n)~1)中的B样条为尺度函数，构造了紧支集、对称的非张量积预小波。因为作为尺度函数的B样条的平移族不是正交的，所以构造的小波不能同时实现有限分解和有限重构。事实上：如果不是向量小波，而又具有有限分解和重构，则尺度函数的平移族一定是正交的。 设φ(x)是S_(3k+1)~(2k)(Δ_(m,n)~1)空间上的B样条基，P(z)为尺度函数φ的滤波器符号，尺度空间V_1的正交分解为V_1=V_0⊕W_0，W_0为V_0在V_1中的正交补空间，即小波空间。记P(z)=sum from μ∈E(P_μ(z~2)z~μ)其中E={(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}。 引理1设Q(z)是满足(?)(w)=Q(z)(?)(w/2)的三角多项式，则f(x)为小波空间W_0中函数的充要条件是 H_(0，0)(z~2)=0 (1)其中H(z)=Q(z)P(Z~(-1))B(Z)=sum from μ∈E(H_μ(z~2)z~μ)，B(z)=sum k∈Z~2＜φ(x)，φ(x-k)＞z~k Vl空间其实也是{叫2x一川，“〔E}的整数平移生成的空间。已知功(2二- 川〔Vl，粼〔E，假设存在劝“(x)〔W0，使得下式成立: 叫2x一川二艺畔例x一l)十才训(x一l)]，拜任E 其中{衅}，。22，{才}102〔产(护)，则构造小波的关键是在引理l 得满足上述条件的函数叻“，拌〔E. (2) 的前提下，求 。︸，V落忿、︸.、‘、 由此我们得到、回的符号俨(z)(一瑞借)，。任E，满足 Q“(:)=z“B(22)一p(z)[z“p(z一‘)B(:)l一。，。)，拜任E(3) 事实上，训‘(x)，拼任E，是线性相关的，下面的引理指明紧支集、非张量积 函数俨，“任F=E\{(o，o)}，构成石2(RZ)的预小波. 引理2令T={(21，22)〔CZ 1 1211=1，}221二l}，如果P(。，。)(:2)于T上无零 .点，贝，J当，〔22时，小波函数叻(0，0)(x一j)可由小波函数{叻“(x一z)，，‘〔F，l任22} 线性表示. 引理3如果P(。，。)(22)于T上无零.点，函数系神“(x一l)，z，〔F，l〔22}是 线性独立的. 二.非张量积紧支集双正交小波的构造 在图像处理中，可精确分解和重构的性质是很重要的。为此，我们仍从 碟+1(△耘。)空间上的B样条出发，构造了非张量积紧支集双正交小波。首 先，采用Groebner basi，的方法求得尺度函数功的紧支集对称的对偶函数历， 然后借助于限制转移算子判定葵的平方可积性及Riesz基性质.最后在尺度函 数和对偶尺度函数已知的条件下，给出了具体的矩阵扩张方法求解尺度函数 和对偶尺度函数分别对应的小波.上述的的扩张方法是方便可行的. 设拭二)是男之+1(△盆。)上的B样条基，M(0，0)(:)为拭x)的细分滤波器符 号;丽(0，”)(:)为对偶尺度函数历的滤波器符号。 本文中构造双正交小波的基本想法是:首先构造功的对偶尺度函数历，使得 功，{vj}，。z与历，{几}，。z分别构成护(RZ)中的MRA，其中巧一牙而而砰丁耳万百再 和讯==。a。{掀2、一l)，1 02“};次之，分别在vl中寻求训，。。F，在认 中寻求价，。。F，使得 劝拌(x)，劝夕(x一l)二占‘，o占。。，拜，。〔F，l任22 2 价(x)，尹(二一l)一。，叻“(x)，历(二一l)一。，。。F，2 0 22 并且{《x一l)，俨(二一l)，拼任F，l〔z“}形成Vl的凡es:基，{拭x一l)，俨(x一l)，拼任 F，l任护}形成Vl的凡es:基. 假设M“和涵，“。F，分别为小波函数劝“和尹所对应的滤波器符号。 又设 S==[L拜(21，:2)]。。二，S=!L拼(21，22)]。。二(4) 为4 x4的矩阵，其中列向量L“(21，:2)和L“(21，勺)的定义为: L“(:1，:2)=【M“(21，22)，M料(一21，22)，M拼(21，一22)，M科(一21， L“(21，22)==!M拼(21，22)，M拼(一21，22)，M拼(21，一:2)，M拜(一21， 一22)}T 一‘2)}T M“(:)和M”(:)，拜任E，可以被改写为下面的形式: M“(z)=艺试(za)广，M“(z)二艺吠(22)2一‘ (5) 设4 x4的矩阵P和Q分别为: 尸=衅(22)]。，。。二，Q=[。尝(22)]。，。。二 (6) 在以上的叙述中，户和。严格地按照E中元素的顺序选取，并且下标表 示矩阵的行的改变，上标表示矩阵列的改变.现在我们有 定理1假设功和历是双正交的，其滤波器符号M(0， 0)(z)和丽(0， 0)(z)分 另，J满足材(o，o)((一l)“)一。。，。，。。E，和丽(o，o)((一1)”)一酝，。，户。E.如果 s.矛=I，则劝“，补，拼。F，形成双正交小波。 进一步，我们知道S.矛=I一P.研=去I，其中s*表示矩阵S的共扼 转置. 毋的构造可以转化为是否存在卯，。〔E，使得艺、Ep。(尸)q。(z2)一毒· 文中，我们借助G二ebne:bas乞、方法，将问题转化为:对于给定的二元多项 式fl，…，f，任K同，是否存在二元多项式91，…，g。〔K[z]，使得E:=1人g‘= 1，其中:任CZ，并且K同为复数域上的多项式环. 我们知道，当f，，…，几于CZ上没有公共零点时，则91，…，g