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多元小波的构造及其应用

李瑛  
【摘要】:本文主要研究多元紧支集非张量积小波的构造及其应用。 论文由六章组成,第一章为绪论,简要介绍了小波和神经网络的发展概况。第2-5章是作者的研究工作(即摘要的1-5部分)。第六章为结论。 一.多元非张量积、紧支集、对称预小波的构造 以Ⅰ-型三角剖分Δ_(m,n)~1上的二元样条空间S_(3k+1)~(2k)(Δ_(m,n)~1)中的B样条为尺度函数,构造了紧支集、对称的非张量积预小波。因为作为尺度函数的B样条的平移族不是正交的,所以构造的小波不能同时实现有限分解和有限重构。事实上:如果不是向量小波,而又具有有限分解和重构,则尺度函数的平移族一定是正交的。 设φ(x)是S_(3k+1)~(2k)(Δ_(m,n)~1)空间上的B样条基,P(z)为尺度函数φ的滤波器符号,尺度空间V_1的正交分解为V_1=V_0⊕W_0,W_0为V_0在V_1中的正交补空间,即小波空间。记P(z)=sum from μ∈E(P_μ(z~2)z~μ)其中E={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}。 引理1设Q(z)是满足(?)(w)=Q(z)(?)(w/2)的三角多项式,则f(x)为小波空间W_0中函数的充要条件是 H_(0,0)(z~2)=0 (1)其中H(z)=Q(z)P(Z~(-1))B(Z)=sum from μ∈E(H_μ(z~2)z~μ),B(z)=sum k∈Z~2<φ(x),φ(x-k)>z~k Vl空间其实也是{叫2x一川,“〔E}的整数平移生成的空间。已知功(2二- 川〔Vl,粼〔E,假设存在劝“(x)〔W0,使得下式成立: 叫2x一川二艺畔例x一l)十才训(x一l)],拜任E 其中{衅},。22,{才}102〔产(护),则构造小波的关键是在引理l 得满足上述条件的函数叻“,拌〔E. (2) 的前提下,求 。︸,V落忿、︸.、‘、 由此我们得到、回的符号俨(z)(一瑞借),。任E,满足 Q“(:)=z“B(22)一p(z)[z“p(z一‘)B(:)l一。,。),拜任E(3) 事实上,训‘(x),拼任E,是线性相关的,下面的引理指明紧支集、非张量积 函数俨,“任F=E\{(o,o)},构成石2(RZ)的预小波. 引理2令T={(21,22)〔CZ 1 1211=1,}221二l},如果P(。,。)(:2)于T上无零 .点,贝,J当,〔22时,小波函数叻(0,0)(x一j)可由小波函数{叻“(x一z),,‘〔F,l任22} 线性表示. 引理3如果P(。,。)(22)于T上无零.点,函数系神“(x一l),z,〔F,l〔22}是 线性独立的. 二.非张量积紧支集双正交小波的构造 在图像处理中,可精确分解和重构的性质是很重要的。为此,我们仍从 碟+1(△耘。)空间上的B样条出发,构造了非张量积紧支集双正交小波。首 先,采用Groebner basi,的方法求得尺度函数功的紧支集对称的对偶函数历, 然后借助于限制转移算子判定葵的平方可积性及Riesz基性质.最后在尺度函 数和对偶尺度函数已知的条件下,给出了具体的矩阵扩张方法求解尺度函数 和对偶尺度函数分别对应的小波.上述的的扩张方法是方便可行的. 设拭二)是男之+1(△盆。)上的B样条基,M(0,0)(:)为拭x)的细分滤波器符 号;丽(0,”)(:)为对偶尺度函数历的滤波器符号。 本文中构造双正交小波的基本想法是:首先构造功的对偶尺度函数历,使得 功,{vj},。z与历,{几},。z分别构成护(RZ)中的MRA,其中巧一牙而而砰丁耳万百再 和讯==。a。{掀2、一l),1 02“};次之,分别在vl中寻求训,。。F,在认 中寻求价,。。F,使得 劝拌(x),劝夕(x一l)二占‘,o占。。,拜,。〔F,l任22 2 价(x),尹(二一l)一。,叻“(x),历(二一l)一。,。。F,2 0 22 并且{《x一l),俨(二一l),拼任F,l〔z“}形成Vl的凡es:基,{拭x一l),俨(x一l),拼任 F,l任护}形成Vl的凡es:基. 假设M“和涵,“。F,分别为小波函数劝“和尹所对应的滤波器符号。 又设 S==[L拜(21,:2)]。。二,S=!L拼(21,22)]。。二(4) 为4 x4的矩阵,其中列向量L“(21,:2)和L“(21,勺)的定义为: L“(:1,:2)=【M“(21,22),M料(一21,22),M拼(21,一22),M科(一21, L“(21,22)==!M拼(21,22),M拼(一21,22),M拼(21,一:2),M拜(一21, 一22)}T 一‘2)}T M“(:)和M”(:),拜任E,可以被改写为下面的形式: M“(z)=艺试(za)广,M“(z)二艺吠(22)2一‘ (5) 设4 x4的矩阵P和Q分别为: 尸=衅(22)]。,。。二,Q=[。尝(22)]。,。。二 (6) 在以上的叙述中,户和。严格地按照E中元素的顺序选取,并且下标表 示矩阵的行的改变,上标表示矩阵列的改变.现在我们有 定理1假设功和历是双正交的,其滤波器符号M(0, 0)(z)和丽(0, 0)(z)分 另,J满足材(o,o)((一l)“)一。。,。,。。E,和丽(o,o)((一1)”)一酝,。,户。E.如果 s.矛=I,则劝“,补,拼。F,形成双正交小波。 进一步,我们知道S.矛=I一P.研=去I,其中s*表示矩阵S的共扼 转置. 毋的构造可以转化为是否存在卯,。〔E,使得艺、Ep。(尸)q。(z2)一毒· 文中,我们借助G二ebne:bas乞、方法,将问题转化为:对于给定的二元多项 式fl,…,f,任K同,是否存在二元多项式91,…,g。〔K[z],使得E:=1人g‘= 1,其中:任CZ,并且K同为复数域上的多项式环. 我们知道,当f,,…,几于CZ上没有公共零点时,则91,…,g


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