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抛物方程有限差分并行算法理论

吕桂霞  
【摘要】:在自然科学的许多领域中,很多现象是用抛物方程或方程组描述的。因此,用有限差分方法数值求解抛物型偏微分方程问题具有重要的理论意义和应用价值。 随着向量机与并行机的问世与发展,传统有限差分方法正在经受着大规模计算实践的考验,各种方法的并行性和计算精度需要在并行环境下加以比较。已有工作大多限于在矩形网格上构造并行算法,关于在三角网格上建立有限差分并行格式和理论分析的结果还不多见。而对于解决实际问题,往往采用三角网格更方便。本文主要研究在三角网格上构造实用有效的并行差分算法,同时也发展一维情形和二维矩形网格上的并行差分算法。受已有结果的启发,我们主要采用三层交替和区域分裂两种技术来实现抛物方程在三角网格上的有限差分并行计算。由于三角网格本身所具有的几何复杂性,在三角网格的每一个网点上建立差分方程时,与矩形网格相比,就需要联系更多的网点,这就给差分格式的并行带来较大的难度。本文的主要工作分为以下几部分。 1.三层交替算法 考虑如下二维扩散方程的初边值问题其中Ω={(x,y)| yctgα≤x≤1+yctgα,0≤y≤sin α}是一菱形区域,α(0<α≤π/2)为菱形相邻两边所夹锐角。对区域Ω作结构三角网格剖分, 摘要 剖分节点记为从,.设h是与空间差分步长相关的一个正参数,△t表示时间 差分步长,记t”=n△t.将第;‘时I可层的剖分节点记作(p:,,tn),并将间题(1) 的解在恤,,俨)处的近似值记作畔·我们首先得到几个建立在三角网格上的 基本差分公式:显格式,隐格式,Crank一Nieolson格式,非对称格式a)和非 对称格式b). (1)带状交替(ABd:Alternating Band)方法 设区域几在x方向上的网格内点数N一1为奇数,若沿着x增加的方向在 内点上依次使用非对称格式a)和非对称格式b),靠近右边界的内点单独使用 非对称格式a),则得到BdR(Band Right)方法.若在构造BdR方法的过程 中,在使用非对称格式a)的内点上使用非对称格式b),在使用非对称格式b) 的内点上使用非对称格式a),则得到BdL(Balld Left)方法.关于BdR方法 与BdL方法的稳定性有下面结果. 定理i当△t三hZ sinZa/(2一eosa)时,BdR方法与BdL方法稳定. 若在奇数时间层和偶数时间层交替使用上述BdR与BdL方法,即得到 ABd方法.关于ABd方法的稳定性有下面结果. 定理2 ABd方法绝对稳定. (2)带状交替显一隐式(ABdE一I:Alternating Band Explieit一Implieit) 方法 在ABd方法的构造过程中,若在使用非对称格式a)和b)的内点之间使 用隐格式计算,则在一个带状区域上的计算可以完全独立,我们将该带状区 域上的计算格式称为带状隐式段.利用带状隐式段,可以设计如下的ABdE一I 方法:对一个给定的奇数S,设有L全3满足N一1=SL.把几上的网点沿 着x方向按照带状分成S段.在奇数时间层,S段的计算格式自左而右依次 按照“显式一带状隐式一显式”的规则作出安排.在下一时间层,即偶数时间 层,每段计算格式与奇数时间层交替进行,即显式与隐式互相交替,非对称格 式a)与非对称格式b)交替,这样在偶数时间层上S段的计算规则变为“带 状隐式一显式一带状隐式”.把上面两种算法在时间方向上交替使用得到的方 法称作ABdE一I方法.关于ABdE一I方法的稳定性,有如下结果. 定理3 ABdE一I方法绝对稳定. 摘要 ABdE一I方法具有好的截断误差,基于显隐交替的三层格式考虑,在每段 的“内点”处为O((△t)2+l‘2),在“内边界”处由于不同时间层两种非对称格 式的交替使用,截断误差可以达到O((△t)2/h+(△t)2+屏). (3)纯显隐交替(pAEI:pure Alternating Explieit Implieit)方法 在ABdE一I方法的构造过程中,若使用显格式或隐格式替代非对称格式 a)或b),就得到队EI方法.PAEI方法的具体构造如下:对一个给定的奇 数S,设有L全3满足N一1=SL.把几上的网点沿着x方向按照带状分成 习段.在奇数时间层,S段的计算格式自左而右依次按照“显式一隐式一显 式”的规则作出安排.在下一时间层,即偶数时间层,每段计算格式与奇数时 间层交替进行,即显式与隐式互相交替,这样在偶数时间层上S段的计算规 则变为“隐式一显式一隐式”.把上面两种算法在时间方向上交替使用得到的 方法称作PAEI方法. 为了证明PAEI方法的稳定性,需要引入如下M‘/2范数: }}U 11、,/2=1 IM‘/ZU日2, 其中M是对称正定矩阵,与时间差分步长无关. 定理4 PAEI方法在M‘/2范数意义下是绝对稳定的. (4)混合交替方法 在前面所述的基本差分格式中,Crank一Nicolson格式既绝对稳定,截断 误差的阶又高,但它是隐格式,不便于直接并行.在下面的混合交替方法构造 中将把Crank一Nicolsoll格式作为一种基本差分格式纳入到交替格式的构造中 来. 具体算法描述为:设、为一满足l2,e三N一1的正整数,I,(l二 1,2,…,25)为满足l三11I:…几。三N一1的2.v个整数.若 。为偶数,在奇数时间层,采用显格式计算畔+’(:二11·I:;,…,九s一1:j- l,2,…,N一1),采用隐格式计算U忿+‘(乞一12,14,…,12、,.,一l,2,…,N一1), 而采用Cl?


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