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求微分方程周期解的同伦方法

王国铭  
【摘要】:自然界很多物理现象和过程都可用如下常微分方程来描述,其中向量场f:R×R~n→R~n满足某些特定的正则性条件,R~n是通常的n维欧氏空间。例如,行星的运动,机械运动都可用常微分方程来描述,生物和生态学中有许多现象以某种常微分方程形式表现出来。 众所周知,周期问题在物理学中具有重要意义,因此,对周期问题的研究一直是常微分方程定性理论的中心课题之一(见[19,32])。自然地常微分方程周期解的求解问题也就成为引人注目的研究课题。 本文共分四部分: 第一部分:绪论。 第二部分:介绍了求微分方程周期解已有的一些成果。 第三部分:是本文的主要结果,在那里我们利用大范围收敛的同伦法,研究了微分方程 2中文摘要 周期解的存在性,在非正切的条件下,给出了周期解存在性的证明 并给出了具体求周期解的同伦方法,进而在去掉Liapunov凸性的条 件下证明了同伦法的比较原理.这些结果的重要特点是给出了非凸 区域上,求微分方程周期解的,具有大范围收敛性的同伦方法.同 时,我们也给出了在更一般的条件下微分方程 士=f(t,x),x〔R“ 周期解存在性的证明. 第四部分:给出了求周期解的同伦算法,并且也给出了若干个具 体算例. 本文主要结果如下: 考虑一阶微分方程组 云=厂(艺,劝,x任R” (5 .1) 其中f(‘,二)关于时间变量,是以T为周期的,即八t,二)=f(t+T,二),,。 几. 假设几二叭胡{t}\几‘cR/R”是有界开集,且对每一个,〔 尺,‘2,〔尺”是有界开集,满足几。+二二几‘,t〔几. 定义3.1设a‘2一口t。。a‘2,.如果对任何x。〔a几,存在‘o,使得 对某个t(,。尺,方程(5.1)满足初始条件x(t。)=x。的每个解二(t)都满 足二(t)佬介‘,,。{:。,‘。+:l,则称撇与方程(5.2)不相切. 我们作如下假设. (:\]).厂:刀\尸‘、尸‘连续,且关于第二个变量二次连续一可微. (AZ)姚,一与方程(5.1)不相切· 3 (A3)存在C“函数g:R“、R,使得集合 几。={x任Rn:夕(x)0} 有界,且对每个x任R”\几。,都有 }V夕(x)}O, 这里甲表示g的梯度. 记方程(5.1)满足初始条件x(0)二x。的解为x(t,x0 考虑同伦映射万:尺“+‘\{o,11 oR”+‘如下: H(P0,只^)= { (1一入){x。一x(T,xo)l+功(x。,(1一入)夕。)一x。十入(x。一至。) 夸。夕(二。)一入夕。夕(厉。) ) 其中尹。=(厉。,夕。),p=(x。,、。),沪(xo,,)为cauehy问题 嚣一h(gh,,价(0)一劣“ 的解,这里 h(x)=功,(x)甲夕(x), 叻,〔cZ,且满足 中文摘要 功1(x)= 劝1(x)0, 1 }v、(x)l” 夕(x)三O, O夕(二)兰e, 夕(x)c, 。任侧功(其中兄回表示函数g(二)的值域),是一个给定的充分小的常 数,且C不是极值点. 我们有下面三个主要结果 定理5.1设(AI)一(Aa)成立.则方程(5.1)在几中有一个T一周期 解.而且对每个(,。,如)。几。\(R+\{0}),都存在一条一维的Cl路径 扣(s),入(s)),使得 H(尸。,刀(s),入(、))=O,(尹(0),入(O))=(尹。,l), ranl:(I!;,H*)l(p(、),、(、)),*(、)o=n+1; 且当入(。)趋于o时,户(s)趋于(x,,。·);从而:(t,x,)为方程(5.2)满足 :(t,:·)。几‘,toR的T一周期解. 定理5.1中要求f(t,:)关于:是护的.实际上,当f(t,x)关于二 是co时,我们也可以得到周期解的存在性结果. 定理5.2假设如下条件满足: (i)f:R x Rn。尺n连续. (11)口几与方程(5.1)不相切. (iii)存在一个C‘函数g:尸、几使得 贝。={二任尸:贝x)0} 5 有界,且对每个x任俨\几。,有 }甲夕(x)}o 则(5.1)在几中有一个T一周期解. 利用定理5.2,我们也可以得到如下比较原理的构造性证明. 定理5.3假设 (i)f(t,x)对x满足Lipsehitz条件. (11)存在C‘函数。:【O,T}一R+和函数,:{0,Tl xR、尺,。(t,二)对 二满足Lipsehitz条件,使得 。(T)三。(0),公(t)全夕(t,二(t)),艺〔{o,T」. (111)存在连续映射v:【0,T}/R“。R,满足 v(O,x)三V(T,x),V(t,o)=o,V(t,x)全0,t〔{0,Tl,x〔Rn 使得v(o,x)对x满足Lipsehitz条件,集合几={x任尺”:v(o,x)。(o)} 有界,并且 耀笋…·0,·任““\几‘ (iv) 城1)(t,x)三夕(艺,不‘”(艺,x)),t〔[0,T],x任Rn 其中 众!,(:,·)一探8·p壳:v(。+“,·+“了(:,·))一v(:,·)}· 则(5.1)有一个满足二(0)〔页的T一周期解x(t).进而,如果假设州O,二} 和j(t,x)对x是拼函数,则对几乎所有x。任几,存在通过x。的c’ 6中文摘要 路径,追踪该路径,总可以找到一点x*‘页,使得方程(5.1)满足初 始条件x(0)=x*的解x(t,0,x*)是(5.1)的T一周期解. 现将我们的结果和已有结果做比较如下: (a)在一些已有的结果中,为利用一些不动点定理,如Brouwe:不 动点定理,一般需要假设Liapunov函数满足适当的凸性条件,但这 些条件在某种程度上限制


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