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逼近算子的收敛阶

成丽波  
【摘要】:本文在第三章,第四章,中研究了二元函数的插值逼近问题。由于二元三角插值Lagrange多项式不一定一致收敛到被插函数,为改进其收敛性,本文在第三章中构造了一个新的求和因子,带有该求和因子的积分算子在全平面上一致地收敛到每个关于x,y均以2π为周期的连续函数,并达到最佳收敛阶。在第四章中由一组适定结点组,构造了二元组合型三角插值多项式算子,并且研究了二元连续周期函数对该算子的收敛性及收敛阶的估计等问题。第五章将被插函数进行组合平均,构造一个组合型的三角插值多项式C-n(f;t,x),使得它在全轴上一致收敛到每个以2π为周期的连续函数,且对C_(2π)~j连续函数类的逼近阶达到最佳。 第六章是关于Fourier级数的求和理论与方法,在Fourier级数的线形求和中,构造了新的求和因子,使得带有该求和因子的积分算子在全轴上一致地收敛到每个f(x)∈C_(2π),且对C_(2π)~k(O≤K≤r)函数类的逼近均达到最佳收敛阶。最后,第七章的内容是Neumann-Bessel级数的可合理论与方法,在这一章中,是从Neumann-Bessel级数部分和的核函数K_n~(N,B)(z.,ζ)出发,构造了一个新的Rogosinski型核,使得带有新核的积分算子H_n~(N,B)(f;z)在单位圆周(|z|=1)上—致地收敛于每个连续函数f(z)(z∈r),并具有最佳收敛阶。 第一章 绪论 本章介绍了研究数值逼近的意义,数值逼近的国内外研究概况及本文研究的主要内容。 第二章 基础知识 本章介绍了Lagrange三角插值多项式的概念,性质及主要结论。然后介绍了最佳逼近多项式,连续模,多元逼近等概念。 吉林大学硕士学位论文 第三章关于二元三角插值多项式的线性求和问题 设。一卜二‘二‘二,一二‘,‘刁c(动表示关于、,y均以肠为周期的连 续函数空间,若了(x,y)任c(。,),则f(x,y)的双重Fouetier级数部分和为 s。(f;x,夕) 轰蒸(a。 co由co咖+反,51血eo以,+。二,co由51记,+d‘,51血s汕) ‘几产了几碑r‘沪护, 式中。*,,久汉,c*,,,d‘,为f(x,y)的双重Fouerier系数。 取结点组为(x*,夕*)一{奥,奥乓)、一。,l,z,.二,2n \切+1乙m+1/ l=0皿,2,…,Zm 使snm(f;x,y)在这些点处的值与了(x,y)的值相同。 则我们获得一个二元三角插值多项式 Hn,(f;x,y 1各熟,l__、 =—、)l气X‘,V,!’ 拟界自自‘ 、.1/ 、11 y 一 ( ‘·2其coga(x一)·2再cos“。一y‘)·‘易再cosa(x一凡)cos“伽 (1) 其中M=Zm+1,N=Zn+i 八+l 1一2 一 一 气 a 8 +·王 rl ︸Ur少. 一 树划烹 一2 1一2 一 一 1叉 = 令户a,, 譬蒸(一咐‘)co鸭 ·(一合)粤‘’蒸蒸‘一,一(几厂‘)( r2+1 )cos·”·印s刀” (2) 吉林大学硕士学位论文 、、。了rl+1:、二二了r2+1:、二 “甲”“一(飞一一‘)气’“”一(一了-一’)气 而;。一。{王),;,=o{生) \n/\m/ 且满足cos(n+l卜。一。,cos(m+1),,一。 则带有该求和因子p。,,的二元三角插值多项式为 敷刘一潇认,,,). }·伽co沐一,·伽co翰一,·肇夕co球一,co汤一)) (3) 对于孺(f;二,y)有以下主要结果: 定理i:若f(x,夕)。e(。), 致成立。 定理2:若f(x,,)任e’,·(见), 则有lim孺(f;x,y)一厂(x,y)在全平面上一 n,用一.. 则有 孺“;一’一‘。,·’一件“,·(青)’代,:s);去,·)·(众)了代、);· ) ·(去)’(丢)r毋(心·’;青,会), (4) 其中E磊(厂)为类H众(f)中的三角多项式与f(x,y)的最佳逼近值。 第四章组合型三角插值多项式的收敛阶 本章将被插函数在插值节点的值进行组合平均,获得组合型三角插值多项式 c。(f;,,x),使其在全轴上一致地收敛到每个连续的f(x)Ec、,且对c么连续 函数类的逼近阶均达佳。 吉林大学硕士学位论文 设了(x)是以肠为周期的连续函数,取插值节点组为 2k+1 =—兀 2n k=0,1,…,Zn (l) 则f(X)的。grange三角插值多项式为 州了;二)一互了(xk4七(x) (2) 其中s*(x)为ugange三角插值多项式的基函数,表达式为 1.,、1, s;tx)=一一sinn(x一x,)cot于(x一x,)k=0入…,2n(3) Zn、“‘2’ H。(f;二)在全轴上并非能一致地收敛到每个连续的f(x)Ec二。为改善其 收敛性,可将插值基函数作平均。本文将被插函数在插值节点的值进行组合平均, 获得组合型三角插值多项式c。(f;‘,二),使其在全轴上一致地收敛到每个连续的 f(x)任c、,且对c么连续函数类的逼近阶均达到最佳。c。(f;,,x)的构造如下 设t为任给的奇自然数,记 H(x。)- {f(x*一;)+Zr(x小了(x*+,)卜Gl(x:)(4, 对t二3,5,……记 。r(x。)一。(x正)一青仁一(x乏一。)一2。一(x乏)·认一(x*·,)}‘,, 式中k=O,1,…,Zn;户= 助 Zn+1 ,于是有 C·(f;‘,X)一互G,(xt万*(x) 关于c。(f;,,二)有 (6) 定理1:若f(x)任c、, c。(f;,,x)、f(x) 则极限式 n,es


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