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基于存档策略的多目标优化的遗传算法及其收敛性分析

张雅波  
【摘要】:本文提出了利用遗传算法求解多目标优化问题的一种有效方法――基于 存档策略的多目标数值优化遗传算法,并讨论了算法的收敛性。通过在算法中 嵌入一个多目标线搜索算子,加强了算法的搜索能力,提高了收敛速度。 本文所要求解的多目标优化问题的数学模型为: (MP) min f (x) = ( f1(x), f2(x),? fq(x))T s.t x = (x1, x2,?, xn)Τ ∈ Rn ai ≤ xi ≤ bi,i =1,2,?,n 。 多目标遗传算法的有关概念 ? 定义1(支配关系)设X 、Y为种群X(t)中的个体,如果满足: fi(x) ≤ fi(y),对任意i∈{1,2,?,n} fj (x) fj (y) ,至少有一个 j ∈{1,2,?,n} 则称个体X 支配个体Y,或称个体Y被个体X 支配。 ? 定义2(非支配个体)如果在种群X(t)中不存在个体Y,使个体Y支配个 ? 体X ,则称X 为种群X(t)中的非支配个体。 ? 定义3(Pareto秩)设在种群X(t)中,有pi 个个体支配Xi,则定义个 (t) 体Xi的秩为rank(Xi,t)=1+ pi ,非支配个体的秩为1。 (t) ? 定义4(档案)我们称一个独立于进化过程的集合A(t)为档案,用于保存 ? ? 到当前代为止非支配个体E(t)及相应的多目标函数值 f(E(t)),即 ? ? ? ? A(t) = E(t) ∪ f (E(t)) 。同时称{A(t)}t 为档案序列。∞ =1 本文采取Pareto秩的方法确定个体的适应度并由此划分赌轮;其中采用了 完全算术交叉算子、边界变异算子和初始化变异算子相结合的混合变异算子。 34 WP=35 这些算子都是我们在已有遗传算子的基础上加以改进形成的,改进的指导思想 是充分利用多目标数值优化的特点所提供的信息。 存档算子,本算法采取一种主要策略,基本思想是:在进化过程之外设 ? 有一个集合称之为档案,记为A(t),用于保存每一代中的非支配个体。具体方 法如下: ? (1)通过支配关系选择出当前代种群X(t)中的非支配个体X?。 ? ? (2)将X?与档案A(t)中的个体放在一起进行比较:若X?被档案A(t)中 ? 的个体所支配,则X?直接被剔除;若X?与档案A(t)中的个体无支配关系,则 ? ? ? X ?进入档案 A(t) ;若 X ?支配档案 A(t) 中的某些个体,则 X ?进入档案 A(t) , ? 并剔除那些被支配个体。档案A(t)中的个体在进化过程中保持非支配地位。 ? (3)当算法终止时,档案A(t)中的解集即为所要求的Pareto 最优集B?的 近似集。 在交叉过程中嵌入多目标线搜索算子在本算法中起着关键性的作用。方 法叙述如下: 任选一不被支配个体xi作为基点,随机地选一个被xi支配的个体xj,确定 ? ? ? 搜索方向d = xi?xj。以xi为基点在方向d上寻找最优个体x? =xi+λ*d ,其 ? 中,λ* =argPartoMin f(xi+λd)用x?代替xi。确定λ*的具体做法如下: λ∈[0,λmax ] (1) 初始化 ? 首先确定λ的上界λmax,以保证xi+λd在可行域内。设xi =(xi1,xi2,?,xin)Τ, ? ? x? = (x1 ,x2,?,xn) ,d = (d1,d2,?,dn)Τ。由 x? = xi + λ*d ,ak ≤ xk ≤ bk 。由得: ? ? ? Τ ? 当dk =0时,λ不受第k坐标方向限制; 当dk 0时,设λ1=min(bk ?xik)/dk; k 当dk 0时,设λ2 =min(ak ?xik)/dk。其中k=1,2,?,n。则取 k 35 WP=36 ? λmax = min(λ1,λ2) ,置 xb = xi +λmaxd 。 (2)多目标线搜索 ? 在线段[xi,xb]上搜索非支配点x*,即确定最优步长λ*,使x*=xi+λ*d。为 此我们设计基于Pareto支配关系的二分法多目标线搜索: 算法描述如下: ? 步1: 置λ ←λmax,xl ←xi,xr ← xi +λd;如果 fk (xl ) ≥ fk (xr ),k = 1,2,?,q ,算法停止,输出 x* = xr ,否则,转步 2。 步2: 置λ ← λ。 1


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