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分数阶Fourier变换及其在非平稳信号处理中的应用

高望  
【摘要】:随着高科技的日益发展,人们对信号分析的要求越来越高,信号分析的对象来越来越广,以前主要的是对平稳信号进行分析与处理,研究的主要工具是Fourier分析方法。即便是非平稳信号,也把它假设为线性,高斯性与平稳性对象来进行处理,这些方法越来越有其局限性。而现代信号处理则以非线性、非高斯性和非平稳信号作为分析与处理的对象,在现代信号处理中,非平稳信号分析与处理不仅是信息科学与技术众多学科重点发展与应用的新技术之一,而且还在物理、力学、地球物理、生物医学、天文、水文等众多学科引起了广泛的研究与应用兴趣。例如用短时Fourier变换处理语音信号,用小波分析进行图像处理、模式识别等等,人们在Fourier分析的基础上,提出并发展了一系列新的信号分析理论:短时Fourier分析、时频分析、Gabor变换、小波变换、Radon-Wigner变换、分数阶Fourier变换、线调频小波变换等。 实际生活中的信号,如通信信号、某些雷达信号、地震波、声纳等,都是非平稳信号。传统的Fourier分析方法和理论使用的是时域或频域的全局性变换,不能同时表述信号的时频域性质,即不能表述不同时间与不同频率之间的对应关系,而这种性质恰恰是非平稳信号最重要和最关键的性质。分数阶Fourier变换是经典Fourier分析法的一种改进方式,是基于坐标轴的旋转思想提出的。它可以同时展现信号的时间与频率特性,弥补了Fourier分析不能同时展现时间与频率特性的这一缺陷。 分数阶Fourier变换是由V.Namias在1980年首先提出,最近几年,分数阶Fourier变换已在微分方程求解,量子力学,光学传输,光学系统和光学信号处理,时变滤波和多路传输,扫描频率滤波器,人工神经网络,小波变换,时频分析等中获得了不少应用,展现了较广阔的应用前景。 本文的研究目的主要是讨论分数阶Fourier变换在非平稳信号分析与 WP=52 处理中的LFM信号的频率检测与滤波干扰分离作用。研究对象是非平稳随机信号中的LFM信号,LFM信号是最适合用作时频聚集性评价的典型非平稳信号,这种信号广泛用在雷达、声呐和地震等探测系统中。文章进行了如下几下面的讨论,并得到了一些有用的结论: 首先本文介绍了分数阶Fourier变换的基本理论原理,分别从数学、光学以及其它方面说明了它演变的由来。实现了分数阶Fourier变换的数值计算,对方波、Gaussian信号以及两种实时信号进行了分数阶Fourier变换。说明了当旋转角度 时,分数阶Fourier变换将收敛为方波信号 ;当 时,收敛为 函数。Gaussian信号在任何p域均为Gaussian信号。通过图示比较表明了它是经典Fourier分析的另一种改进方式,能够同时展现信号的时间与频率特性。分数阶Fourier变换的主要特点是提供研究对象从时间域到频率域全过程的综合描述,随着阶数从0连续增长到1,分数阶Fourier变换展示出研究对象从纯时间域逐步变化到频率域的所有变化特征。因此,分数阶Fourier变换提供了远比Fourier分析法多得多的可供选择的数据处理和分析方法。 其次本文又从时-频分析的角度论述了分数阶Fourier变换是具有独特性质的线性信号时-频分析方法。它对LFM信号具有良好的时频聚集性,并且与典型时-频分析方法中的Wigner-Ville分布、Radon-Wigner变换能够相互表示,是一种很好的对非平稳信号进行处理的时频分析工具。可以证明若 为LFM信号,它在 平面的Wigner-Ville分布为一条斜线,如果进行适当的坐标旋转,这条斜线在新的 坐标系下的Wigner-Ville分布可能成为平行或垂直于 轴的直线,即所得的 的分数阶Fourier变换是单谐波或冲激函数。也可以证明LFM信号 的 阶分数阶Fourier变换模平方正好是 方向上的Radon-Wigner变换。即Radon-Wigner变换在LFM信号 处呈尖峰,则分数阶 WP=53 Fourier变换在 , 处也呈现尖峰。即证明了分数阶Fourier变换对LFM信号具有良好的时频聚集性,因此,利用Radon-Wigner变换对时变信号进行分析的许多方法都可以考虑应用到分数阶Fourier变换上来。本文例举了利用分数阶Fourier变换对非平稳随机信号中的含未知参数的LFM信号进行频率与调频斜率检测。在计算量上,WVD的计算复杂度为 ,而分数阶Fourier变换的复杂度为 ,一般地,需要扫描的分数阶Fourier变换的个数要比采样点数要少,另外,这种基于分数阶Fourier变换的含未知参数的多分量信号分析方法,不用考虑交叉项,(而Wigner-Ville分布、Radon-Wigner分布的交叉项会严重影响到对信号检测的分辨率),省略了WVD方法中的直角坐标向极坐标的转换,使处理过程大大简化。因此利用分数阶Fourier变换对多分量LFM信号进行分析和处理更具有优越性。本文利用分数阶Fourier变换对含未知参数的LFM信号进行频率检测,取得了较好效果。 最后本文讨论了分数阶Fourier变换在滤波与干扰分离中的应用。众所周知,传统的滤波与干扰分离方法只限于在时域与频域(Fourier域)进行。如果信号或干扰有很强的时频耦合,即在时频平面里呈现斜的分布,使得这些分布在时间轴或频率轴上的投影均有重叠,就难于在时域或频域得到好的滤波与干扰分离结果,分数阶Fourier变换具有解除时频耦合的特性,选择合适的旋转角度,使之与处理对象相匹


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