四阶抛物方程的一个有限差分并行格式

【摘要】：在自然科学的许多领域中，很多现象是用抛物方程或方程组描述的，因此，用有限差分方法数值求解抛物偏微分方程问题具有重要的理论意义和应用价值。 随着向量机与并行机的问世与发展，并行数值算法已成为研制高性能并行计算程序的关键技术之一，到目前为止，有限差分并行算法主要是考虑二阶抛物方程问题。实际上，四阶抛物方程的并行化更有必要，相对二阶抛物方程而言，四阶抛物方程的显式格式的稳定性要求更高，达到r≤1/8，其中r=Δt/h~4；而其隐式格式的方程组是5对角的，这给大规模求解也带来了困难。 本文主要研究四阶抛物方程的并行化问题，受已有二阶抛物方程结果的启发，我们主要采用三层交替技术来实现四阶抛物方程的有限差分并行计算，得到一个可以将区域分块并行求解的差分格式，该格式绝对稳定而且局部截断误差达到O(△t+h~2)。 本文的主要工作分为以下几部分. 1.四种非对称格式 在第二章第一节中，我们考虑如下一维四阶抛物方程的初边值 计算可得，显式格式的稳定性条件为 利用中值定理，对方程(1)离散可得四种非对称格式如下， 对上面的四种非对称格式，我们可以得出如下的结论: 在第二章第二节中，我们主要利用非对称格式构造四阶抛物方 程的分组显式算法，所得算法进一步改善了误差阶， 可以计算得在四个点上的显式解，利用展开，可以计算得 显式解的局部截断误差都 定理3四种非对称格式组成的四点组的截断误差 由此可以看出，单独使用以上几种格式时，计算精度一般较差， 因为截断误差中包含了书项，即使网比r固定日寸，这一项随。趋于 零而趋于零，但是该项误差随:增大而增大，计算误差不好控制. 但是把这四种非对称格式组合起来形成如下节所给出的分组显式使 用会使计算精度大大改善，因而更具有实际应用价值. 已知。层的值，当求第层时，沿x增加或减少方向在顺序四 点上使用四点组格式(6)求解问题(1)的方法称为分组显式(Group Exphcit)方法，简记为GE方法. 现要求剖分节点是(N为自然数)，此时有 要计贷.的内点.因此有川个4点组，剩余两点放在同一边，要么左 边，要么右边.剩余两点放在右边的情况，我们称为GER方法，剩 余两点放在左边的情况称为GEL方法.今以GER方法为代表进行 较仔细的讨论，GEI一方法的讨论类似，这里从略. 在第二章第三节中，我们已经看到，当单独使用GER或CEL方 法时，两种方法都是条件稳定的.这里我们把这种在 不同时间层交替使用GER和GEL方法，称为交替分组显式方法， 简称AGE方法.我们可以给出入GE方法的数学描述如下 定理5 AGE方法是绝对稳定的. AGE方法的一个特点是两个差分格式GER.和GEL的交替使用， 以连续交替计算为一个周期，不断重复进行，每一个计算周期内实 际上可以看作是使用了一个三层差分格式，以上稳定性证明就是基 于这种周期性情况做的. 在抛物方程或方程组的大型科学计算中，由于隐式格式一般具 有一好的稳定性，但由于隐式差分方程的并行求解比较困难，所以其 并行化研究可以从构造差分格式入手.受到构造分组显式格式方法 的启示，有人提出恰当地使用交替技术建立了多种显一隐式和纯隐 式交替并行方法，得到了稳定性和并行性兼顾的研究成果.我们对 厂一维问题(l)提出r有限并行解法. 泞先构造求解问题(l)的隐式段，对某个，‘1.考虑(，(、+，.，，十l)(，= 1.2.·…乙)诸点上的计算.在四个“端点”(，(。+1.l‘+l).(l()十2·11十 l).(，「，+乙一2.，;+l)和(，〔，+乙一1.，，+1)处分别用非对称格式(2).(5)， (:l)和川.而在“内点”怀、+，.。十1)(，二1.2.·…L)处使用古典隐 式，即得到分段隐式. 对于问题(l)利用段隐式，一般的AsE一I方法是这样设计的:设 I一1=万LN、L为正整数，L全:.将同一奇数时间层要计算的点 分为\段，并自左而右依次按“古典显式一分段隐式一古典显式” 的规则作出安排，在下一时间层(偶数层)仍为N段，每段计算格式 交替地进行，即古典显式变为古典隐式，古典隐式变为古典显式， 非对称格式(2)变为非对称格式(3)，非对称格式(5)变为非对称格式 (4)，非对称格式(3)变为非对称格式(2)，非对称格式(4)变为非对称 格式(匀.这样在偶数时间层上N段的计算规则就变为“分段隐式- 古典显式一分段隐式”，使得分段显一隐在不同的时间层之间交替进 行. 48 入S仁一I矩阵描述如一「: (I+，“.)U门 (l+z‘扩:)U“ 二(I一，f扩:)U 11. 二(了一，‘了.)U“- 11二0 .2.4二 明 Jr. 二 其中U’‘ 定理6由式了别所描述得交替分段显一隐方法了」乡E一l)是绝对 稳定的. 这样，我们构造了一种用于四阶抛物方程的有限差分并行格式 ASE一1.这种格式不仅绝对稳定，而且有很好的截断误差. 在L面所述抛物方程有限差分并行算法这个研究方向上，除了 我们已经提到的方法之外，目前还有许多工作正在研究之中，例如 多维变系数问题方法的稳定性和收敛性等，非线性问题在这方面的 研究更是一个十分广阔的领域.