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Cauchy型多元有理插值的存在性

陈少田  
【摘要】:众所周知,插值方法是函数逼近的一种经典方法,利用它可以通过函数在有限个点处的取值,给出函数的近似表达式。此外,插值法还是导出其它许多数值方法例如积分的机械求积的依据。多项式插值理论与方法已经相当成熟。用有理函数逼近任意函数比多项式逼近更为优越,这是熟知的。早在1821年就提出了一元有理插值问题,现称之为Cauchy插值。但是多元有理插值成果甚少,甚至如何选择有理函数的表达式还不清楚。这是因为直到20世纪90年代M.G.Marinari和H.M.Mller,T.mora利用构造性代数几何理论,给出了多元插值多项式的构造性理论和算法,才解决了对任意给定的插值节点组,插值多项式的构造问题。受这方面工作的启发,本文借鉴多元多项式插值函数的构造方法,给出了多元Cauchy型有理插值函数的构造方法,并证明了一元情形就是经典的Cauchy有理插值函数。其次,利用这种插值函数的表达式,我们还得到了有理插值函数的存在条件。 于实数轴上给定m+n+1个互异的点x_0,x_1,…,x_(m+n),以及函数y=f(x)与之相应的函数值f_0,f_1,…,f_(m+n)∈R,试求一有理分式函数其中P_m(x),Q_n(x)分别为m次及n次多项式。P_m(x)=sum from i=0 to m a_ix~i,Q_n(x)=sum from i=0 to n b_ix~i使之满足插值条件 R(x_i)=f_i,i=0,…,m+n. (2)称为一元有理插值问题。 它是1821年由Cauchy提出的,因此也称为Cauchy插值问题。 于s维空间给定一组两两互异的点V={X_0,X_1,…,X_N},则存在于V上取值为零的多项式生成理想I_V,使对任何f(X)∈I_V,f(X_i)=0,i=0,…,N。记K[X]表示所有系数取自域K的多项式集合,则K[X]构成多项式环,K[X]/I_V 为其商环.由于Iv仅有N+1个零点, 维的. 2 K【川/肠作为K向量空间必为N十1 于3维空间中选定分次字典序为单项式序,即:对于任意K[x}中的单项式 X“,X口, 尸二x?l考…泞,尸二xfl珍…玲, 称x“、x“,即x争x护…对·只x争蜡,…对·,如果a,+aZ十…+。,尽,+热+ …十风,或者a:+aZ十…+Q,二口l十热十…十口,,但{口1一a,,几一aZ,…,口;一a,} 中左边第一个非零分量为正. 若K一向量空间的基底为、。,w,,…,mN,并且u、弓、、,,则对任意给定的 型值,。,夕1,…,万N,多项式插值 岛(x)lx一、三艺a、:{x一、一、,,一0,‘,…,N 存在而且唯一。 因而,若称向量空间K!X{/升的基为、。,、1,…,二N时,我们就取成 R(X) (3) 其中,Pm(X) =兄a,二*,Qn z二0 (刀二艺仄切‘· 对给定的插值点X。,X:, XN,求形如(3)的有理函数使之满足插值条件 R(凡)=九,,j=0,1,…,N=7n+n (4) 就是多元Cauchy型有理插值问题的恰当描述. 对给定的两两互异的插值节点组V二{X0,Xl,…,XN},直接计算商环K!X}/肠 (亦称V的坐标函数环)并非易事.M.G.Marinari,H.M·Msller和T.mora注意到多 项式函数在固定点上赋值定义了多项式空间的线性泛函,特别是当X。,Xl,…,XN 互异时,在凡(j=0,1,…,N)赋值的线性泛函乌(域X))=抓凡)是线性无关 的.它们生成K!X}/Iv的对偶空间L的一组基底,利用它可以算出K{X}/肠的 相应的对偶基底,其算法如下. 算法:对给定的点xj,定义线性泛函 L,:L,(f(X))==f(凡),j=O,1,…,N 、、、......1..万口声/ o-N LL;.L /了.........诬、、、 一一 L 用t。二1,才,,…,t,…,表示S维空间中按分次字典序排列的所有单项式序列. 考虑序列 Lto,Lto,…,Lt。 (5) 由定义 /…、 一一 、、、、.........刀/尹 子乙活仁 0 IL LL L亡: L万t: 艺,(X。) 艺:(Xl) t:(X二) 于(5)中选择最前面的N十1个线性无关的向量,设其为: LtJ。,L亡,、,…,Lt;N, 则此时的匀。,勺,,…,匀、即为点集V相应的坐标函数环的基底·记为wo=勺。二 1,二1=t,1,…,二、=艺J、即为所求. 构造矩阵 、钾, 、{‘’ 二黔。、60)。0、10)…。、;0) 、从),,二;‘,,1、{‘,…,,1二分, (Nn 叨 N 夕 ·:砂叭 硼硼·:硝w0 Z了...les.es...、、, 一一 B(X,y) 二纷,。Nw;N,,、、{N, 2口,n夕切。夕切- 百叨。 其中m尸二w*(xj),根据插值基的构造方法知w。=1,二尸=1 记 n︸,上 了‘、龟,几产汀.、11 切切 n︸,止 夕y 二段,,0二罗, 、架,,,w;‘, 。。二驴) ylw分) n︸11 切留 二{N,…、缭,。,二;N,。、w{N, 是B(X,幼去掉最后一行所导出的,为(N+l)x(N+2)的矩阵.并令 二{。,…二段, 二{l)…二黔 (N) 切m yow;0) ,1二分) .… 、‘J﹃U IL 刀1侧岔 切1011 1梦夕 Bl= 场 。0二舒, 。,二{‘’ 。、w{N,、、二{N,…,,w梦, 显然B=(Bl,BZ),并且B,的秩为。十1. 现在将插值条件 氏(戈)一场Q。(凡)==O,j=0,1,…,N 凡(X)一夕Q。(X)=O 写成矩阵形式 侧X,功 (6) 显然有不全为零的a。,


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