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一类退化拟线性抛物方程解的唯一性和存在性

刘强  
【摘要】:渗流是自然界中一种普遍存在的自然现象,它指的是液体在多孔介质中的运动,例如水在土壤中的流动就是一种渗流现象,渗流的研究对地下水资源的开发,石油天然气的开采,特别对农业生产都有重要的意义,同时,在研究土壤的盐碱化和改良,肥料的合理施用,工业废水处理和地下水资源的保护等问题时,进一步涉及到渗流中溶质迁移和热量传递过程,都必须考虑渗流中溶质和热量输送的动力学问题。 渗流现象的研究起源于1956年H. Darcy[1]的著名实验。在以后的几十年中,众多数学家建立了大量关于渗流现象的数学模型,并在数值计算以及理论的定性研究上都取得了巨大的进展。本文所研究的问题来源于一种不可压流体在均匀,各项同性的多孔介质中流动。首先由连续性方程有 (?)θ/(?)t+div(?)=0,(1)其中θ为介质的孔隙率,(?)表示为渗流速度,Darcy定律给出 (?)=-κ(θ)▽Φ,(2) 一类退化拟线性抛物方程解的唯一性和存在性 其中无(的为液导系数,中为总位势.在假设忽略吸附的作用,化学作 用,渗透效应的条件下,中可以写成 中=重十之 (3) 其中第一项平是由毛细管作用产生的吸力而引起的静力学位势,第二 项是重力位势,z为沿重力方向的坐标变量. 联合(1),(2),(3)得到 div(无(0)甲中)+ 口无(8) 口之 (4) 一一 即一决 在许多介质中,宙可以看成是夕的函数,即平二中(因,则我们 可以得到如下形式的方程 幻此 △A(0)斗一d ivB(8). 二 即一次 而由实验表明,液导系数峨哟一般是非负的,即A(、)是非减函数, 时方程(5)就是典型的渗流方程. 另一方面,若0依赖于寸,即口=砚重),方程(4)可化为 口8(平) 口t div(无(重)V垂)+ 口K(中) 口x 在一维情形下经过适当的变换, 口C(。) 口亡 则得到如下形式的方程 口2牡 口了2 (6) 如果不考虑重力的作用(例如x的方向为水平的情形),方程(6)的形式 为 口C(。)口2二 a艺口xZ’ (7) 第35页 舍魂 走军硕士学位论文 其中C(司一般也为单调不减函数,这类方程常用于带有饱和区和非饱 和区的渗流问题的研究. 对于方程(5),(6),(7),在数学上我们所感兴趣的主要是带有退化 的情形.一般来讲,方程(5)是典型的抛物一双曲方程,退化发生在使 A’(s)=0的地方,而方程(6),(7)是椭圆一抛物方程,退化发生在使 已(s)=0的地方. 关于退化抛物型方程(5)弱解理论的研究可以追溯到1958年. Oleinik,Kalashinkov和周毓麟!2」发表了关于方程 口。口2动(二,t,二) 口t口了2 CauChy问题的研究. 在这篇文章中,他们要求《t,、,司对、全0有定义且 叻(t,x,二 必(‘,x,o O,叻。(t,x,?,)O,当。O时, =功。(t,x,O)=O 、、,,矛了、龟.尸/ 由于方程具有退化性质,一般来说是不存在古典解的,因而必须考虑方 程的弱解.他们给出了第一边值和第二边值问题弱解的定义,利用抛物 正则化方法证明了弱解的存在性,同时也给出了唯一性的证明以及扰动 有限传播的条件. Gilding和Peletier{3」于1976年研究了方程 口视口2视“‘口u,, 而一万万.+丽 1 的Cauchy问题,其中饥1,n0,并且证明了当“全烈m+l)时 乙 弱解唯一,当“0全O连续,有界且。邵LipSChitz连续时弱解存在.这 第36页 一类退化拟线性抛物方程解的唯一性和存在性 个结果随后被Gilding 14}推广到更一般的方程 口廿口/山八_口廿 而一丽\a(司司+乙叫厉囚 其中a(。),b(。)连续,且a(二)O(。O),a(O)=0.他证明了当 62(二)=O(a(u))(。一、O+) 时弱解的唯一性.后来,陈亚浙教授!5}去掉了(s)中由a(u)控制b(司 的条件,集中对a(动加条件,证明了弱解的唯一性.而方程(s)研究 中的一个实质性的进展是由赵俊宁教授{6}得到的,他不要求a(司与 试司之间有任何的关系,只假设a(司全。,但集合F={、,a(、)=0} 不含内点,而且唯一性是在有界可测函数类中证明的.这方面的发展历 史可详见综述文章【7」及所附的文献表. 1959年,周毓麟教授!s]研究了方程 口2锐.,、口u_口:‘、口社、一 下万-下刃=A(x,t,七)下二一,+万(x,t,祝,:二一)一万一+c(x,t,祝)+户’(x,t) 口X‘、“‘dt、“口X‘口T 的混合边值问题,他利用差分方法证明了弱解的存在性,并研究了解的 有界性. 1982年,Van Duyn和Peletier【9{,!10{发表了关于方程(7)的 第一边值问题的研究结果,包括弱解的存在唯一性,解的性质及饱和与 非饱和区域交界面的连续性.另外,在1987年,他们提出了方程(7) 的自由边界问题(参见【n〕),证明了自由边界的连续性.在他们的研究 中,C(。)一般都有如下的性质 当二0时,C(哟严格递增(对应于非饱和情形); 当二全0时,C(司=1(对应于饱和情形).


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