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平面三自由度冗余度机器人轨迹规划的研究

杨泽坤  
【摘要】:1. 引言 本文以平面三自由度冗余机器人为研究对象,首先研究了冗余度机器人躲避障碍物的轨迹规划方法。给定平面三自由度冗余度机器人的初始形位,终端的运动轨迹,以及工作空间内的障碍物,采用人工势场法构造其避障势函数,然后基于分解运动速度控制方法求解冗余度机器人运动学逆解,得到平面三自由度冗余机器人的躲避障碍物的轨迹规划结果。论文还研究了平面三自由度冗余机器人动能最优的轨迹规划,求出了该机器人系统的动能,并以该系统动能作为关节转角函数的泛函数,通过求解泛函数的极值,得到该机器人动能最优的轨迹规划结果,并进行了数值仿真。 2. 平面三自由度冗余度机器人躲避障碍物的轨迹规划 2.1 数学模型的建立 平面三自由度机器人的运动学方程为: (2.1) 式中: Jacobian矩阵为: (2.2) 2.2 避障规划的数学描述 假设机器人末端的作业任务是跟踪一个圆,圆心在(1,2),半径为0.5,角频率 为 ,则期望运动轨迹为: (2.3) 末端期望速度为: (2.4) WP=56 末端期望加速度为: (2.5) 假定机器人的工作空间内只存在一个障碍物,位于圆心在(1,0.5),半径为0.2的一个圆内, 和 均取为2,安全因子取为0,则避障势函数为: (2.6) 2.3 分解运动速度反解 (2.7) 现在利用式(2.7)求冗余度机器人速度反解。先求出方程右边的表达式,其M文件形式是这样的: syms t q1 q2 q3; p1=[-1*pi*sin(2*pi*t);pi*cos(pi*2*t)]; I=eye(3,3); D=jw*p1+(I-jw*j)*v; 这样求出的D为3*1矩阵,它是一个微分方程组。利用MATLAB语言将其写成M文件的形式,进而应用ode45命令进行求解。 这里取末端操作臂的初始位置为(1.5,2),即满足初始状态方程组: 初始值为 。 调用主命令ode45的格式为: [t,y]=ode45('jie’,[0,10],[0.9250;0.7227;-1.4454]) 这样解出的结果存在矩阵y中,矩阵y有3列。 WP=57 2.4 轨迹规划的数值仿真 躲避障碍物的轨迹规划的仿真结果如下: 图1平面三自由度冗余机器人躲避障碍物轨迹仿真 经过MATLAB数据轨迹仿真,我们发现结果符合我们的期望。平面三自由度冗余机器人的末端操作器能够完成期望的轨迹。而且,机器人的各个关节又不与障碍物相碰撞。证明这种方法是正确的。实际上,我们只要知道平面三自由度冗余机器人的初始形位、期望轨迹和障碍物的位置,就能够采用这种方法完成躲避障碍物的轨迹规划。 3. 平面3R机器人动能最优的轨迹规划 3.1 确定系统动能 平面三自由度机器人系统的动能为: WP=58 (3.1) 式中 。 以该机器人的动能作为泛函数,则其惯性矩阵M决定了泛函极值微分方程组的表达式。 3.2 确定泛函极值微分方程组的解析表达式 在系统动能作为泛函的条件下,其泛函极值微分方程组为: (3.2) 式中, 等符号为Christoffel符号, , , 为关节转角。 3.3 解泛函极值微分方程组 WP=59 图2 最优轨迹规划的数值解 设所要规划的轨迹的起始点为 ,终止点为 ,搜索的弧长范围为0到1。根据线性搜索程序确定最优轨迹在起始点处的方向,使其能够过终止点,最优轨迹在起始点处的方向由各关节的初始速度 决定。确定了初始条件后,就可以调用MATLAB的ODE45函数解出泛函极值微分方程组,即该机器人的能量最优解。数值解如图2所示。 4. 结论 本文给出了平面三自由度冗余机器人躲避障碍物轨迹规划的一种方法:基于分解运动速度控制方法和人工势场法进行躲避障碍物轨迹规划。根据给定机器人的初始形位,终端的运动轨迹,障碍物的位置,用人工势场法创建它的避障势函数。采用分解运动速度控制方法求解该平面三自由度冗余度机器人的运 WP=60 动学逆解,解出机器人各个关节的关节角,这样就可以确定各个关节的坐标值,得到该机器人躲避障碍物的轨迹规划结果。 应用MATLAB进行了平面三自由度机器人的躲避障碍的轨迹规划动画仿真,仿真结果验证了本文方法的正确性。 首次提出应用泛函数极值来进行机器人动能最优的轨迹规划,通过求解泛函极值的微分方程组,直接得到动能最优的轨迹,不需要进行运动学反解。


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