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多元Lagrange插值与多元Kergin插值

崔利宏  
【摘要】:插值问题是一个十分经典的数学问题,同时它也是计算数学中的一个基本问题。一元插值的理论与方法现如今已基本上臻于完善,八十年代起,插值问题研究的重点开始转向多元插值。究其原因,主要是多元插值在多元函数列表、曲面外形设计和有限元法等诸多领域有着广泛的应用。 多元插值中使用最普遍的就是多元多项式插值,它是利用给定的插值结点组和一个多元函数在结点处的函数(导数)值构造出一个多元多项式函数来近似地表示这个多元函数,而在结点处这两个函数取得相同的函数(导数)值。进行多元多项式插值时一个首先必须解决的问题就是插值多项式函数的存在唯一性问题,也就是我们所重点研究的多元多项式插值的适定性问题。由于这个问题直接关系到有用插值多项式格式的构造,因此,有关这一方面问题的研究在多元多项式插值理论中有着十分重要的地位和作用,并且是近年来一个十分活跃的研究方向。目前,国内外对多元多项式插值适定性的研究大体上可分为如下两个问题: (1) 对于给定的插值多项式空间,寻找适定的插值结点组(即使插值多项式唯一存在的插值结点组); (2) 对于给定的插值结点组,寻找适定的插值多项式空间(即使插值多项式唯一存在的最小次插值多项式空间)。 De.Boor和Ron以及T.Sauer等人都对问题(2)进行了研究,而我们则一直致力于问题(1)的研究。 梁学章教授于1965年在[1]中首次提出了二元Lagrange插值适定结点组的概念,并得到了构造二元插值多项式适定结点组的一种递归方法。1998年,为了进一步研究R~2中的Lagrange插值问题,梁和吕在[2]中又提出了沿平面代数曲线进行Lagrange插值的基本概念,并给出了沿平面代数曲线插值适定结点组的一种


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