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BPX格式对有限体积法的应用

吕俊良  
【摘要】:用有限元法(FEM)或有限体积法(FVM)求解偏微分方程时,得到的代数方程组的系数矩阵的条件数随网格加密而迅速增大,给解代数方程组带来麻烦。对于有限元法,前人提出了许多预处理方法,如多重网格法、分层基法、区域分解法、BPX格式以及小波基方法等。本文首先介绍有限体积法及其预条件的若干讨论[27],文[27]给出FVM预条件的抽象框架,但仅给出用小波基作为试探函数的数值例子。本文分别针对两点边值问题和Poisson方程验证了若干有限体积格式试探函数空间的嵌套性,并使用BPX格式进行预处理,数值实验表明BPX格式是有效的,使条件数达到一致有界。由于有限体积法导出的系数矩阵常常不对称,使用的数值解法要仔细加以选择,我们使用广义最小残量法(GMRES)求解不对称矩阵代数方程组,比较了预处理前后的迭代次数的差别,实验结果说明预处理效果十分明显。最后,我们利用单元刚度矩阵分析法,证明了二维Lagrange二次有限体积法与相应的有限元法两者双线性形式之差不是小量,这说明低次元FVM与FEM二者双线性形式之差是小量的事实对于高次元不再成立,也就是说,高次元FVM与相应的FEM差别很大。


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