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非线性偏微分方程的两类精确解法

李保安  
【摘要】:本论文主要研究基于齐次平衡原则的应用来求解非线性偏微分方程(组)的两类精确解法.论文内容主要有两个部分. 第一部分介绍了利用齐次平衡原则构造非线性偏微分方程的Backlund变换来求解方程的基本方法,应用本方法研究了一个广义变系数Fisher方程,求出了该方程的Auto-Backlund变换(自BT),根据自BT得到了方程有意义的精确孤立波解. 第二部分综述了辅助方程展开法的基本思想和步骤,探讨和发展了F-展开法.主要思路是通过偏微分方程的行波约化,转化为常微分方程,再由辅助常微分方程展开法转化为非线性代数方程组,结合使用计算机符号运算系统(Maple, Mathematica)求解代数方程组,从而得到方程(组)的各种约化解和行波解. 本文利用扩展F-展开法研究了Sinh-Laplace方程、变形Boussinesq方程组、(1+1)维和(2+1)维BBM方程、一类Klein-Gordon方程、耦合KdV方程组,求出了这些方程组的各种精确解,包括周期波解(用Jacobi椭圆函数表示的双周期波解和三角函数表示单周期波解),孤立波解(用双曲函数表示)等新的约化解或行波解.


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