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有限、半无限和广义半无限极大极小问题的若干算法

张淑婷  
【摘要】:本文研究内容分为三部分:一是求解有限极大极小问题的拟牛顿法和换元修正牛顿型方法;二是半无限极大极小问题的行列修正算法;三是广义半无限极大极小问题的全局收敛性方法. 对于有限极大极小问题,E.Polak等人提出了一种直接求解极大极小问题的二阶收敛的牛顿法,但是为获得二阶收敛速度要求在Danskin点处满足严格互补条件,这个条件太强,很多实际问题尤其是半无限极大极小问题的离散化不满足该条件;文[75]给出另外一种牛顿法,在不假设严格互补条件成立的情况下,证明了它的超线性(3/2阶)收敛性。本文给出解有限极大极小问题的一种拟牛顿法,在不假设在Danskin点处满足严格互补条件的情况下证明算法具有超线性收敛速度及全局收敛的性质。换元修正牛顿型法是解光滑无约束优化问题的一类有效方法,具有超线性收敛性,并且可以保持迭代矩阵的稀疏性和对称性,因此适于大型稀疏问题。本文给出有限极大极小问题的行列修正拟牛顿法与换元修正牛顿型法,在不假设严格互补条件成立的情况下证明其全局收敛性和局部超线性收敛性、给出收敛阶估计,并通过数值试验证明该算法的有效性与可靠性。为更有效地求解子问题,我们还给出了这些算法的具有全局收敛性的不精确算法。在第五章中我们给出了半无限极大极小问题的行列修正算法,通过求解一系列近似问题来得到半无限极大极小问题的最优解。我们证明适当控制离散化参数N的增长方式和每个近似问题的求解精度,可以使得算法保持超线性收敛速度。对于广义极大极小问题,本文在较弱的条件下,利用广义伪方向导数的性质,用离散化的技巧给出了非凸广义半无限极大极小问题的一种可实现的全局收敛算法。


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