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非线性波动方程的时间周期解

冀书关  
【摘要】: 本文主要研究具有依赖于空间变量x系数的非线性波动方程的时间周期解。全文内容共分六章,第一章是绪论,从第二章到第六章为论文主体部分。 在第二章,我们主要研究Sturm-Liouville边值条件下具有次线性增长非线性项的一维波动方程。通过深入而细致地分析Sturm-Liouville边值条件下波算子的谱的形式和渐近特征,给出了波算子的一些性质,然后利用对偶变分方法和极大单调原理,我们分别对Dirichlet-Neumann边值问题、Neumann边值问题和一般边值问题建立了其时间周期解的存在性和正则性。 在第三章,我们进一步考虑周期和反周期边值条件下具有次线性增长非线性项的一维波动方程。通过分析周期和反周期边值条件下波算子的谱的形式和渐近特征,我们给出了波算子的一些性质,并利用这些性质证明了周期和反周期边值问题的时间周期解的存在性和正则性。 在第四章和第五章,我们分别研究具有幂次增长非线性项的一维波动方程在Sturm-Liouville边值条件、周期和反周期边值条件下时间周期解的存在性。通过利用在第二章和第三章给出的波算子的谱的形式和渐近特征,我们进一步考察波算子的性质,并借助于临界点理论和有限维逼近的思想,建立了这种波动方程时间周期解的存在性。 最后,在第六章,我们也考虑一般Sturm-Liouville边值条件下二维常系数波动方程和二维依赖于x系数的波动方程。对一些类型的边值问题,我们利用谱分析方法证明了其时间周期解的存在性和正则性。


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