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具周期位势或周期源的高阶扩散方程

李颖花  
【摘要】: 本文研究一维具周期位势或周期源的高阶扩散方程的周期解和初边值问题解的渐近性态,全文共分三章. 在第一章里,我们先讨论具周期浓度相关位势和周期源的Cahn-Hilliard型方程,证明了若迁移率γ适当大,则对于任意初值都存在时刻T~*,使得对大于T~*的任意时刻,初边值问题的解关于空间变量的L~2模均可由周期解的上界控制.然后,我们考虑相关的粘性Cahn-Hilliard型方程,在得到与无粘性情形平行的结果之后,我们证明了当粘性系数趋于零时,初边值问题的解和周期解几乎处处分别收敛于相应的无粘性方程初边值问题的解和周期解. 在第二章,我们考虑具周期梯度相关位势和周期源的粘性Cahn-Hilliard型方程,证明了当迁移率γ适当大时,存在唯一渐近稳定的非平凡周期解;对于不具粘性和具粘性两种情形,相应的周期解分别在L~2模和H~1模意义下吸引着所有初边值问题的解.我们还讨论了粘性系数趋于零的极限过程,我们发现初边值问题的解和周期解分别一致收敛于相应粘性系数为零的方程初边值问题的解和周期解. 本文第三章致力于具周期源的粘性扩散方程的研究.对于强非线性源情形,我们借助于Blow-up方法做出全体周期解的上界估计,进而利用拓扑度方法证明了非负非平凡周期解的存在性,接下来讨论了粘性消失过程中解的渐近性态.对于弱非线性源情形,我们通过对源项的逼近研究相应的逼近问题,利用单调迭代的方法证明了逼近问题非负非平凡周期解的存在性,然后由逼近解的一致收敛性得到了原问题非负非平凡周期解的存在性,最后讨论了粘性消失的极限过程.


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