p-Laplacian算子边值问题解的存在性与多重性

【摘要】： 本文综合运用变分法、上下解方法、拓扑度理论、临界点理论和同伦连续法等多种非线性分析方法研究了p-Laplacian方程边值问题解的存在性与多重性.全文共六章,第一章是绪论,第二章到第六章是论文主体部分. 在第二章,我们研究一维p-Laplacian方程-(|u'|~(p-2)u')'=f(t,u)的周期解问题.利用比率(?)与(?)在无穷远处与零点处的渐近极限与算子-Δ_pu的谱的相交关系,我们得到周期解的存在性与多重性.这里F(x,u)=∫_0~uf(x,s)ds. 在第三章,我们研究p-Laplacian方程Dirichlet边值问题:-div(|(?)u|~(p-2)(?)u)=f(x,u),x∈Ω,u|_((?)Ω)=0,其中Ω(?)R~n(n≥1)是有界光滑区域.利用比率(?)与(?)在无穷远处和零点处的渐近极限,我们在f满足p-线性增长而(?)在无穷远处可能振荡时得到解的存在性与多重性. 在第四章,我们研究带组合非线性的p-Laplacian方程Dirichlet边值问题.假定非线性项具有形式h(x)|u|~(q-2)u+f(x,u),其中h∈L~∞(Ω),1qp.我们分别考虑三种不同情形:1.h∈L~∞(Ω),h(x)(?)0;2.h(x)≡-λ;3.h(x)≡λ.利用比率(?)与(?)在无穷远处和零点处的渐近极限,我们在f满足p-线性增长时得到一系列解的多重性结果.此外,在h(x)≡λ0时,我们还得到了p-线性增长情形的Ambrosetti-Brezis-Cerami型结果. 在第五章,我们研究半线性椭圆Dirichlet问题.利用Lyapunov-Schmidt约化、拓扑度理论和变分法,结合比率(?)与(?)在无穷远处和零点处的渐近极限,我们得到解的存在性与多重性. 在第六章,我们研究p-Laplacian方程Neumann边值问题.利用比率(?)与(?)在无穷远处的渐近极限与算子-Δ_pu的谱的相交关系,我们得到解的存在性.