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算子代数的独立与算子的联合谱

靳水林  
【摘要】: 本文的主要内容分为两个方面。 一方面,我们研究了算子代数的独立性与联合谱的关系。 上世纪七十年代,R.Haag和D.Kastler为研究量子系统的两个子系统之间的关系,将测量结果与测量顺序无关的性质抽象出来,对C~*代数引入C~*独立的概念。我们从算子联合谱角度和算子联合数值域角度给出C~*独立的等价描述,得到了下面的结果: 设A和B是B(H)中相互交换的C~*代数,那么下述等价:(1)A和B是C~*独立的;(2)对A中任意的算子A和B中任意的算子B都有Sp(A,B)=σ(A)×σ(B),其中Sp(A,B)表示Taylor联合谱。(3)对A中任意的算子A和B中任意的算子B都有W(A,B)=W(A)×W(B),其中W(A,B)表示联合数值域。 另外,由于联合谱和独立性的密切关系,我们引入了有限个相互交换Banach代数联合谱独立的概念。我们研究了有限个C~*代数C~*独立和联合谱独立的关系,证明前者蕴含后者。 另一方面,我们利用联合谱研究了C~*代数的素性。关于C~*代数的素性与联合谱的关系,Curto提出了下面的公开问题: 设A是一个有单位元的C~*代数。A是素的是否等价于对任意n以及A中的任意交换的n元组a=(a_1,…,a_n),b=(b_1,…,b_n),都有Sp((L_a,R_b))=Sp(L_a)×Sp(R_b)? 我们得到了下面的结果,对Curto的公开问题给出了部分的回答。 设A是一个C~*代数。那么下述成立:(1)A是素的;(2)对任意自然数n以及A中任意正、交换的n元组a=(a_1…,a_n),b=(b_1,…,b_n),都有Sp((L_a,R_b))=Sp(L_a)×Sp(R_b);(3)存在自然数n,使得对A中任意正、交换的n元组a=(a_1,…,a_n),b=(b_1,…,b_n),都有Sp((L_a,R_b))=Sp(L_a)×Sp(R_b):(4)A上的所有左表示算子生成的代数与所有右表示算子生成的代数是联合谱独立的。


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1 靳水林;算子代数的独立与算子的联合谱[D];吉林大学;2009年
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