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四边形网上有限体积元法的L~2误差估计及超收敛

吕俊良  
【摘要】: 本文以二阶椭圆型方程为模型,对求解区域作凸四边形剖分,在试探函数空间分别取等参双线性有限元空间及等参双二次有限元空间两种情形下,研究了相应的有限体积元法的最佳阶L2误差估计及超收敛性. 对于等参双线性元有限体积法,本文在h2拟平行四边形条件下,给出了最佳阶的L2误差估计.其主要思想是在对偶论证法的框架下,将证明归结为估计有限元与有限体积两者双线性形式的差.我们将其分解成两部分:原始单元上的积分求和以及原始单元边界上的线积分求和.对于第一部分,我们精确计算了某些积分,在h2拟平行四边形条件下,得到了所要的估计;对于第二部分,除了要精确计算积分外,还要将这些线积分按单元对边合并,进而在h2拟平行四边形条件下,得到了所需的估计.接着,借助于单元间的合并技巧以及Bramble-Hilbert引理,在h2均匀四边形网上,我们证明了双线性元有限体积法的第一插值弱估计为2阶.进而得出,在三类插值超收敛点上,导数逼近按平均模意义具有超收敛. 对于等参双二次元有限体积法,已有的文献均只构造了相应的格式并证明了数值解按H1模2阶收敛.数值试验表明这些格式的L2模收敛阶均仅为2,而且在单元内部的插值应力佳点上,导数的超收敛性也不存在.本文重新选取了对偶剖分方式取单元边界线上的2阶Gauss点作为对偶剖分节点,取单元内部Gauss线作为对偶单元边界线构造了新的有限体积元格式.本文在h2拟平行四边形条件下,证明了新格式按H1模2阶收敛.同时,我们用一种新方法证得了此格式的最佳阶L2误差估计.与上面双线性元有限体积法的L2估计证明方法不同,这种新方法是将有限体积法的双线性形式按原始单元求和,把限制在原始单元的部分,即有限体积法的单元二次型,看成是有限元法单元二次型的某种数值积分公式.通过估计求积余项,得到有限体积与有限元两者双线性形式的差的估计,进而得到最佳的L2估计.而且,利用这种新方法,我们成功地证明了双线性元有限体积法的最佳阶L2估计.同时,对于矩形网上双二次元有限体积法,我们证明了它的第一插值弱估计为3阶,进而得到在单元内部2阶Gauss点(即插值应力佳点)上,有限体积解的导数具有超收敛性. 本文在矩形网及几种四边形网上做了详细的数值实验,验证了等参双线性元的最佳阶L2估计及超收敛性,等参双二次元的最佳阶L2估计及超收敛.虽然我们仅在矩形网上证明了等参双二次元的超收敛,但数值实验表明,这种超收敛性可以推广到四边形网上.


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