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守恒律偏微分方程的格子Boltzmann方法

董银峰  
【摘要】:近年来,格子Boltzmann方法(LBM)作为一种计算方法广受关注。尤其是在计算流体领域内,LBM已经成为强有力的工具。格子Boltzmann方法从诞生的那天起其应用研究就引起了大家的广泛关注。本文关注的是格子Boltzmann方法在守恒律偏微分方程中的应用。 本文在第一章简要回顾了格子Boltzmann方法的发展历史。 第二章中,我们从BGK型的格子Boltzmann方程出发,应用Chapman-Enskog展开和时间多尺度技术,得到了不同时间尺度的系列方程。这些系列方程可以用来构造高精度的格子Boltzmann模型。并且适用于一维、二维以及三维等情况。系列方程还可以写成不同时间尺度守恒律的形式。结合平衡态分布函数的高阶矩,不同时间尺度的守恒律可以写成更优美的形式。 在第三章中,我们使用格子Boltzmann方程的系列方程讨论了一般形式的守恒律方程的格子Boltzmann模型的建立,给出了构造格子Boltzmann模型时,高阶矩与方程通量之间的关系。在一维守恒律方程的格子Boltzmann模型中,如果高阶矩的选择可以符合这些条件,就可以得到高阶截断误差的模型。在数值算例中详细讨论了一维情况的守恒律方程的模型建立及误差分析。我们应用格子Boltzmann方程的系列方程构造具有截断误差为O(ε~4)的格子Boltzmann模型,并且得到了色散项和耗散项,并应用Hirt启示性稳定性理论对其进行了分析。 在第四章中,我们讨论了守恒律方程中的守恒型Euler方程。同样使用格子Boltzmann方法中的系列方程对Euler方程进行恢复。给出了构造Euler方程的格子Boltzmann模型的一般方法。本章中还给出了一种用于Euler方程的多能级格子Boltzmann模型,并给出了算例。 第五章基于Lagrange观点提出了一种隐式Lagrangian格子Boltz-mann方法来研究守恒律方程。我们给出的数值算例表明,在激波和接触间断的模拟上,这个方法的分辨率令人满意。


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