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时标上的抽象线性动态方程

冯由玲  
【摘要】: 德国数学家Hilger于1988年在他的博士论文中创立了时标上的微积分理论.将微分方程与差分方程统一并推广到时标动态方程的理论框架中.时标线性动态方程在许多领域都有应用,本文主要研究时标上的抽象线性动态方程. 对于时标上的常系数线性矩阵动态方程,我们将矩阵动态方程解的计算转化为对应的纯量线性动态方程求解问题,得到了解的显式表达式.对于时变线性动态方程,利用算子的Riesz函数演算,将时标上的广义实值指数函数推广到一般的Banach代数中.在一定条件下证明,该广义指数函数恰为有单位元的交换Banach代数中时标线性动态方程的解,从而推广了纯量方程的相关结果.本文还在Banach空间中考虑了时标线性动态方程解的存在惟一性问题.找到了一个有界线性算子类,它在一定条件下是保证方程解的存在惟一性不依赖于具体时标的最大算子类.我们在Hilbert空间中刻划了算子类的闭包和内部,描述了该算子类的大小. 2006年,Bohner和Guseinov提出了复时标上的解析函数概念,将离散、半离散以及经典的解析函数理论统一并推广到时标框架下.本文对复时标上的解析函数进行了初步的研究,主要考虑了复时标上解析函数与经典解析函数之间的关系,得到了几类复时标上解析函数的局部开拓条件.并且对单项式pn(z)=zn在复时标上的解析性进行讨论.


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