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一类伪抛物型方程解的渐近行为及其在图像处理中的应用

曹杨  
【摘要】: 本文主要研究伪抛物型方程解的长时间渐近行为及其在图像恢复中的应用,全文共分三章. 在本文的第一、二章,我们讨论含三阶项△uf的齐次、非齐次半线性伪抛物型方程全空间上的Cauchy问题以及外区域上的第二初边值问题的临界指标并发现上述问题的临界指标与相对应的抛物型方程的临界指标一致,并未受到三阶项的影响.作为一种“好”的粘性项,三阶项△uf具有保持原方程某些特征的特点,而我们的研究结果恰好体现了其“好”的粘性特征.尽管如此,我们在估计爆破时间上界时发现三阶项会起到延迟爆破时间的作用. 目前涉及伪抛物型方程指标问题的讨论非常少见,我们的研究遇到了很多困难.首先,在抛物型方程的研究中最常用的构造自相似上、下解的方法在这里并不适用.这是因为当有三阶项时,我们需要解决的是一个非常不整齐的高阶常微分方程,求解过程中会遇到很多意想不到的困难.其次,虽然可以写出伪抛物型方程的基本解,但是由于其Green函数形式极其复杂,故单纯的从对基本解的估计来得到爆破也行不通.本文中我们采用的是用于证明拟线性抛物型方程解的爆破的方法能量(积分)爆破法,这里证明要复杂得多.特别是讨论临界情形p=pc时,还需要建立比较原理.遗憾的是已有的结果都是针对特殊的伪抛物型方程建立的特殊的比较原理,有很大的局限性,甚至不能由其得到解的唯一性和非负初值解的非负性.而由于有三阶项的存在,常用的方法例如符号法则,Holmgren方法等均不再适用.这里我们给出了一般形式的比较原理,对Cauchy问题是利用核函数的非负性来证明,而对于外区域问题则可利用伪抛物型方程的极大值原理来证明. 在第三章中,我们从衰减弹性形变机制入手将几类混合型方程模型应用到图像恢复中去.首先我们讨论了一类空间变量正则化的正倒向衰减弹性形变模型:双曲抛物型模型.随后我们从三阶项△uf正则化以及粘弹性材料力学的粘弹性衰变机制出发,建立了几类具强阻尼及耗散阻尼的双曲伪抛物型模型.我们的模型比已有的扩散方程模型能够更好的保持图像的边界,同时由于耗散项和正则项的存在还能较好的去除噪声.特别的,我们给出的模型能改善PM模型对大噪声图像去噪的缺陷及TV模型的阶梯效应.


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