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解析Hamilton系统的可积性蕴含Birkhoff法化的收敛性

唐颖超  
【摘要】: 如果在一个局部辛坐标系中,Hamilton函数与其二次部分的半单部分是Poisson交换的,那么称这个Hamilton函数是Birkhoff法形,把Hamilton函数化为Birkhoff法形的辛变换被称作Birkhoff法化,通常要考虑这个法化(形式上是幂级数)的收敛性问题.而Hamilton函数的解析可积性是指一个局部解析,函数独立,首次积分对合的完全集. 本文安排如下:记q(q≥0)是解析Hamilton系统在平衡点处的共振度.§2中的内容主要是介绍关于Hamilton系统的基础知识,如什么是Hamilton系统,什么是Birkhoff法形及Hamilton系统的一些性质等等.随后在§3中特别的对q=0(即非共振系统)进行了详细的讨论,指出收敛的Birkhoff法化等价于系统的解析可积性.接下来的§4中考虑了q=1(即简单共振系统)的情况,同样地得到与§3相同的结论,而且都是利用快速收敛迭代法证明Birkhoff法化的收敛性.由于q(q≥2)时,解析Hamilton系统存在收敛的Birkhoff法化并不能推出该系统可积,然而反之是否正确,非常有效的解析工具快速收敛迭代法此时不能处理该问题,在§5中应用一种全新的几何方法给出了这一问题的肯定回答.在§6中简单介绍了处理非线性PDEs问题的Birkhoff法形定理及其在波方程中的应用.


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