Navier-Stokes方程的一类最优控制问题

【摘要】： 作为描述粘性不可压缩流体运动规律的基本方程，Navier-Stokes方程长期以来得到包括许多著名数学家在内的众多科学工作者的广泛关注。迄今为止，对这类方程解的存在唯一性，正则性，渐近性，稳定性，数值计算，最优控制等方面的研究取得了一系列令人瞩目的进展。本文拟在前人工作的基础上，研究Navier-Stokes方程支配的一类最优控制问题。 全文分三章，第一章讨论Navier-Stokes方程的速度追踪问题。我们首先定义了反映最优控制的性能指标泛函，它刻划了流体的速度场与给定的速度场于时间[0，T]上的接近程度，在T时刻的接近程度，以及质量力所做功的大小。利用文献[3]中的方法并结合对方程解的一系列估计，得到了最优控制所满足的一阶必要条件。值得指出的是，我们是在控制集合U_1非凸的情形下得到结论的。 第二章讨论Navier-Stokes方程弱解的稳定性。我们证明了当初值u_0和外力f具有小扰动时，相应的方程解的L~2-范数也变化不大。这给实际问题的数值计算提供了理论支持。 第三章讨论反馈的稳定性。我们证明，选取适当的反馈，即控制变量与状态变量的关系，可使得相应于这个反馈系统的状态变量在长时间后与给定的静态Navier-Stokes方程的解充分接近。