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分形插值的全息方法与局息方法

孙明岩  
【摘要】: 本文讨论了分形插值问题(FIP)。首先,明确提出了分形插值问题的严格定义,给出了分形插值空间的概念,并指出了分形插值空间的基本性质。其次,利用本文给出的数学语言,总结和表述了经典的仿射IFS分形插值方法。然后,提出了全息自相似与局息自相似的概念,局部与整体相似的性质称为全息自相似,局部与局部相似的性质称为局息自相似。给出了两种新的分形插值方法——全息IFS分形插值方法与局息IFS分形插值方法,并给出了计算机绘图实例。主要结果如下。 1.提出了FIP的全息插值IFS,证明了全息插值IFS是压缩IFS,得到了如下一般性定理。 定理A 已知{w_i}_(i=1)~n是FIP的全息插值IFS。设{(x_i,y_i)}_(i=0)~n是插值数据组,[a,b]是插值区间,D={(x,y)∈R~2:a≤x≤b}是插值区域。设水平压缩率为{a_i}_(i=1)~n、垂直压缩率为{d_i}_(i=1)~n。设形线ψ_i的Lipschitz常数为M_i,准线φ的Lipschitz常数为L。记则 (1)取θ使其满足0<θ<(1-α)/(αM+δL)。当αM+δL=0时,其上界为正无穷大,亦即θ可取任意正常数。则(R~2,ρ_θ)是完备度量空间,且ρ_θ与欧氏度量ρ_E度量等价。 c…凡是完备度量空间(A,h)中D上压缩IFS,并存在欧氏空间 *中唯一的紧集A口D,使得A-**-U“(*,其中w为D上讪地 的提升映射。 O)存在 f。F[a,b卜使得 A=G[fi。亦即存在 f。C…,b卜其满足 插值条件八x,卜y;,O=0,l,…,n人并且A是f的函数图像。 2.提出了日P的局息插值IFS,证明了局息插值rS与一个全息插 值 IFS拓扑共轭,得到了如下一般性定理。 定理8已知…凡是FIP的局息插值1陀。设Xx;,川地是宏插值数 据组,kx;,zJZ。是微插值数据组,k卞]是插值区间, D=XX,y枉 R\ E 5 X sb}是插值区域。设水平压缩率为kx;、垂直压缩 率为{dX;。设宏线g在插值区间上连续。设做线W的LipSChitZ常数为M, 准线伊的 LIPSChitZ 常数为人 *。=m。云。。、6=m纶 d。贝 (1)记了:D+D为了(X,y)二(X沙一*X)十g(X)),贝uT为D与DZ间的 拓才 同胚映射,且逆映射为了一’(X,y)二(X,y一g(X)+WX))。记 。;一厂’wCU=l,2,。,n*则如此;是以微插值条件为插值条件、以W为 形线、以伊为准线的压缩全息 IFS,且有 in;(X,y)=(X;_;+。;(X—X。),W林卜4V一s(X))),V(X,y)。D 其中Z-x;;+。;(x-x。)。亦民讪不与如社;拓扑共轭。 (2)在欧氏空间 R‘中存在唯一的紧集 A c= D,使得 A-**一卜;(*,其中w为D上… 凡的提升映射。并且有A-,(Z, 其中万一。(A)=U。;*)是由{。;n所确定的全息IFS插值曲线,其中。为 D上{。}1;的提升映射。 (3) 存在 f* F【a,b】,使得 A= G【厂】 口对即存在 f* C【a,hi,其满足 宏插值条件八x;)=y;,(i=0,l,…,n厂A是f的函数图像。并且有 f=Fw+g,其中 F是由 {。X;所确定的全息 IFS插值函数。 3.结合分形插值的特点,作为维数参考指标,提出了全息分形插值 与局息分形插值的拟维数概念。在宏线LipSChitZ连续的条件下,证明了局 息插值 IFS是压缩 IFS,获得了与上述全息插值的定理 A相对应的局息插 值定理。并且,在该条件下还获得了如下维数定理。 定理C 己知灿X;是叶 的局息插值I陀,f为其局息计S插值函 数,G[fJ为其局息IFS插值曲线。设{。X;是{。x;的共轭伴随rS,F 是{。义;的全息IFS插值函数,Gn是{。}1;的全息IFS插值曲线。设水 平压缩率为 {ax;、垂直压缩率为 {dl;,设宏线在插值区间上 Lipschilz连 续,则有 (1)im丹 G[f]= dimH G[f]。 ()若*mBG[/]存在,则山m…【 】 山m0G[flo ①若…;儿还是局部仿射的,亦即其共轭伴随如此;是仿射r。设 了卜。卜1且微线与准线不重合,则山m。q人是方程U4卜”-‘-1 的唯 I=l!一 一正实根。 O)若…凡是等距的局部仿射的局息rS,当Z;4卜’且微线与准线 t到 不重合时,有dim。GV]=1u(ZId;*In…) I二1 本文提出的全息分形插值方法与局息插值方法,在被插函数方面,与 经典的分形插值方法有本质的不同。经典插值方法,只需要被插函数的散 点函数值信息,其分形插值函数也仅满足插值条件而已。 在全息插值中,形线是被插函数;在局息插值中,宏线是被插函数。 在全息或局息插值过程中,需要知道被插函数每一点处的函数值信息。得 到的插值函数,不仅满足插值条件,同时在整体外形上还与被插函数相似, 亦即还具有对被插函数的整体逼近性质。 这也是全息 IFS插值方法与局息 IFS插值方法的新颖之处,其不仅具 有散点插值的性质,而且还具有整体逼近的性质。因此,全息IFS插值方 法与局息 IFS插值方法,


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