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随机微分方程中的参数估计与假设检验问题

蒋达清  
【摘要】:在二十一世纪,有关金融数学和生物数学的研究显得越发重要,金融数学和生物数学与其它学科的交叉领域将成为主要的研究对象,为此,本文以统计学方法和随机微分方程理论为工具,探讨由连续随机微分方程表示的一些随机生物数学模型中的参数估计与假设检验问题,首先,理论研究探讨由连续随机微分方程表示的一些随机生物数学模型的动力学行为;其次,研究模型中的参数估计问题,给出了传统Euler方法离散化随机模型所得到的参数估计;最后,探索模型中参数估计的统计推断,研究了随机化Logistic方程中的参数的极大似然估计的渐近性,相合性,并对参数作了假设检验。这些问题的讨论乃至解决将对认识和理解统计学在随机微分方程中参数估计与假设检验的作用机理提供数学基础。 本文由四章构成,第一章给出了本文中主要涉及的定义和定理。 第二章研究了随机化Logistic方程dN(t)=N(t)[1-(N(t))/K](rdt+adB(t))和dN(t)=N(t)[(a-bN(t))dt+adB(t)],具有初值N(0)=N_00,N_0是随机变量,B(t)(t≥0)是一维标准Brown运动。给出了正解的存在性唯一性以及参数的极大似然估计,另外得到了参数的极大似然估计的渐近性,相合性。最后,利用鞅大数定律和中心极限定理对参数作了假设检验。参数的极大似然估计值的模拟表明估计值与真实值比较符合;另外参数置信区间的模拟表明随着样本量的增大,置信区间长度越来越小。 第三章研究了具有随机扰动的Lotka-Volterra型的竞争系统,互惠系统和捕食被捕食系统正解的的存在性,唯一性,全局渐近稳定性以及参数的极大似然估计依次分三节研究了竞争系统,互惠系统和捕食-被捕食系统,给出了正解的全局存在性,唯一性,又考虑到相对应生物系统的确定性模型在一定条件下存在全局渐进稳定的平衡点,本章亦研究了随机扰动系统的解在时间均值意义下的全局渐近稳定性,又由于模型中的参数一般是未知的,鉴于此给出了参数的极大似然估计,并给出了模拟,模拟结果表明估计值与真实值比较符合。 第四章,考虑了L~p(Ω,C_h~p)空间中具无限时滞的随机偏泛函微分方程温和解的存在性,唯一性及渐近性质(p2): dX(t)=[-AX(t)+f(t,X_t)]dt+g(t,X_t)dW(t),其中,假设-A是一个闭的,稠密定义的线性算子,它是某一个解析半群的无穷小生成元,W(t)是一个给定的K-值维纳过程,首先研究巴拿赫空间C_h~p和L~p(Ω,C_h~p)。其次,利用半群方法给出了具无限时滞的随机偏泛函微分方程解的存在性,唯一性,荐次,致力研究温和解的p-阶矩和几乎必然李雅普诺夫指数稳定性,最后,给出具


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