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应用偏微分方程解的存在性,渐近极限与时空估计

李敬宇  
【摘要】: 本文考虑三类应用偏微分方程解的存在性,渐近极限与时空估计问题. 第一章是引言部分. 在第二章,我们考虑定义在复合介质上的椭圆型方程解的渐近极限问题.这个问题来自于弹性力学.为了使弹性介质能够承载更多负荷,我们在该介质表面附上一层硬度很大的强化层.这个强化层相对于内部介质很薄.我们考察当薄层厚度趋于0时,椭圆型方程解的渐近行为.首先,我们假设薄层具有一致厚度,所得结果推广了Brezis, Caffarelli和Friedman的结论;然后,我们考察薄层振荡结构的影响,所得结果推广了Buttazzo和Kohn的结论. 在第三章,我们考虑热传导方程解的渐近极限问题.这个问题来自于复合材料.为了保护导热介质免受外界高温的破坏(例如返航的航天飞机),我们沿该介质表面涂上一层绝热层.这个涂层相对于内部的介质很薄.假设涂层的整个热张量很小,我们考察当涂层厚度趋于0时,热方程解的渐近行为.我们发现极限解在介质的边界满足Dirichlet, Robin还是Neumann条件(我们称之为有效边界条件)取决于涂层的热传导率与厚度的定量关系,其中保证有效边界条件为Neumann条件的涂层绝热性最好.当假设涂层的热张量只在沿着介质法线的方向很小时(我们称之为最优定向涂层),我们也得到了类似的结论. 在第四章,我们考虑双曲型方程解的存在性与时空估计问题.首先我们考虑一个来自于液晶材料的守恒律方程解的存在性问题.通过粘性消失法,利用LP Young测度理论,我们证明了这个守恒律方程在一般的L2初值条件下整体弱解的存在性.接下来,我们考虑了一类带有奇异时变位势的波方程初值问题.其中位势模的上界仅依赖于空间维数,而不是以前结果中要求的充分小性.通过对解做加权L2估计,我们建立了解的局部正则性估计和Strichartz估计.我们也得到了这个波方程解的存在性结果.


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