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时标动力学方程周期解

张继民  
【摘要】: 时标动力学方程是一个新兴的研究领域,具有广阔的应用前景。其研究历史最早可以追溯到1988年,德国数学家Stefan Hilger建立了时标理论,目的是整合和统一连续与离散的分析。此文发表后受到了各国数学家的广泛关注。时标上的动力学方程更为一般,包含微分方程与差分方程作为特例。不仅可以描绘连续变化过程和离散变化过程,同时也可以刻画连续与离散混合的过程,更具现实意义。对时标动力学方程进行研究,不仅对微分方程(连续)和差分方程(离散)的某些问题进行统一的处理,而且有助于探讨微分方程(连续)和差分方程(离散)的本质差异,揭示不同时标的选取对系统的动力学问题及实际问题解决的影响。目前关于时标动力学方程的研究绝大多数限于边值问题和振动性,而对于周期性问题的研究较少。因此,本文主要目的是研究时标动力学方程的周期解问题。 本文首先利用著名的重合度理论,建立了某些非自治时标动力学方程周期解存在的判别准则。这些时标动力学方程具有广泛的应用背景,它们能够退化为微分方程与差分方程情况下的捕食者-食饵系统,竞争系统,单种群系统,单种群反馈控制系统。不仅能够对以前的微分方程(连续)与差分方程(离散)的周期解问题进行统一的处理,而且还能包括连续与离散混合的过程,进而有助于揭示微分方程(连续)和差分方程(离散)的本质差异。其次,通过压缩映像原理,我们讨论了一类半线性时标动力学方程周期解的存在性和渐近稳定性。其中,我们也探讨了这类半线性时标动力学方程解的有界性和零解的稳定性。最后,利用线性时标动力学方程指数型二分性理论,我们获得了高维时标动力学方程周期解的存在性。在这个过程中,我们也讨论了指数型二分性的一些基本性质,给出了指数型二分性存在的充要条件,并进一步探讨了指数型二分性的粗糙度理论,证明了如果一个线性系统具有指数型二分性,那么这个线性系统的所有邻域系统都具有相似的指数型二分性。同时利用行占优(列占优)等条件,建立了线性时标动力学方程指数型二分性存在的判别准则。


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