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变分不等式的间隙函数和解的弱sharp极小性质

胡艳红  
【摘要】: 变分不等式问题是一个经典的数学问题.许多物理学和工程学中的问题,它们的模型都是一些偏微分方程加上适当的边值条件和初始值条件,并且通过一些变分不等式来描述的.由于变分不等式问题与补问题、最优化问题、平衡问题、不动点理论等数学分支的紧密联系,以及它在科学与经济方面的广泛应用,这类问题越来越显示其重要性. 关于变分不等式的理论分析和数值结果一直是研究的热点.近年来,许多学者关注利用间隙函数将变分不等式等价的化为约束优化和无约束优化的问题.所谓间隙函数是指定义在全空间或者其子集上的实值函数,它在给定集合上的全局最小点集就是变分不等式问题的解集.在构建解决变分不等式问题的算法和分析这些算法的收敛性质时,间隙函数起到了非常重要的作用.因此间隙函数的研究已经成为变分不等式问题的重要研究方向之一. 本文针对两类广义变分不等式分别定义了广义正则间隙函数和D-间隙函数,研究了它们的性质,并且证明这些间隙函数的零解集合就是广义变分不等式的解集.通过分别使用广义正则间隙函数或D-间隙函数,在所研究变分不等式问题的目标函数关于解是g-强单调,而不再需要连续可微甚至局部Lipschitz的条件下,得到了全局误差界.由于广义变分不等式包括标准变分不等式,拟变分不等式和补问题等特殊情形,我们得到的结果可以看成关于这些问题的已知结果的推广. 变分不等式的各类间隙函数中,有一类称作对偶间隙函数.它是由Marcotte和Zhu提出的,他们指出对偶间隙函数有全局误差界等价于变分不等式的解集具有弱sharp极小性质.优化问题解集的弱sharp极小性质在灵敏度分析和算法收敛性分析等方面有着重要的应用. 在自反严格凸光滑的Banach空间中,本文首先引入了变分不等式问题解集是弱sharp极小的定义,指出变分不等式问题解集的弱sharp极小性质成立的充要条件是其对偶间隙函数有全局误差界.其次本文证明了变分不等式问题的最小原则充分性质成立是解集弱sharp极小性质成立的必要条件.如果补充一定的条件,那么它就是充要的.为了进一步刻画算法的有限收敛性质,我们引入了变分不等式问题解集是次弱sharp极小的定义,并指出在解集是次弱sharp极小时,任意迭代算法都能够在有限步终止,也就是算法可以有限收敛.由此,我们研究了一类重要的算法,渐进点算法的性质,并给出了渐进点算法有有限收敛性质的具体条件.


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