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随机传染病模型的渐近性态

于佳佳  
【摘要】: 传染病动力学主要致力于从理论上研究传染疾病的传播和发展,寻找导致疾病流行的主要因素.近几十年来,建立数学模型用于传染病的研究已经引起了学术界的极大重视.本文利用随机微分方程理论研究了一些随机传染病模型.文中将确定性传染病模型中加入随机扰动得到了相应的随机传染病模型,并研究了随机模型的动力学行为. 本文由五部分组成. 第一章中给出了文中证明所需要的相关定义和定理. 在第二章中,分别研究了随机SIR模型和随机SIRS模型.首先证明了这两个随机模型都存在唯一的全局正解,然后研究了正解的渐近行为.虽然原来的确定性SIR和SIRS模型在一定的条件下均存在无病平衡点和地方病平衡点,但是再加入随机扰动后这些平衡点并不是随机模型的平衡点.事实上,随机SIR和SIRS模型不存在任何平衡点.因此,接下来便分别研究了在确定性模型无病平衡点和地方病平衡点附近随机模型解的渐近行为.最后,给出数值模拟图印证得到的结论. 第三章中研究的是一个S-DI-R传染病模型,分别采用两种方法对其加入随机扰动.第一种采用文献[17]中介绍的方法对该传染病模型加入随机扰动得到了一个随机S-DI-R传染病模型,然后证明了对于任何非负初值这个随机模型一定存在唯一的全局非负解.接下来研究了该随机模型的解围绕确定性模型无病平衡点和地方病平衡点的渐近行为.第二种方法是围绕确定性模型的地方病平衡点做随机扰动得到了另一个随机S-DI-R模型.对于这个随机模型,利用构造适当的随机Lyapunove函数证明了该随机模型的解是随机渐近稳定的,同时得到了稳定性的条件. 在第四章中,分别研究了带有平衡点扰动的随机多群体SIR模型,随机多群体SEIR模型和随机多群体时滞SIR模型.针对随机多群体SIR模型和随机多群体SEIR模型利用图论和随机Lyapunove函数证明了这两个模型的解均是随机渐近稳定的,并得到了稳定性条件,随后给出了数值模拟图.最后,研究了随机多群体时滞SIR模型,利用图论和构造适当的Lyapunove泛函证明了该随机模型的地方病平衡点是依概率稳定的. 最后一章总结全文.


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