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一类分数阶微分方程的精确求解方法

李运霞  
【摘要】:近些年,很多的学者开始注意到分数阶微分方程,他们发现分数阶导数的模型比起整数阶导数的模型有很多的优点,分数阶导数和分数阶积分被广泛的应用到一些学科,如:物理,生物,化学等学科领域里.由于分数阶微积分算子是拟微分算子,具有非局部性,因此分数阶微积分算子在非线性领域的研究中具有重要意义.尽管分数阶微分方程的有很大的用处,但是非线性方程求解起来难度很大,它不同于线性微分方程,没有统一有效的解法.只有较少的文献中讨论了分数阶微分方程的精确解. 本文考虑了非线性分数阶KdV方程,(2+1)维分数KdV-Burgers方程,(2+1)维非线性分数阶长水波方程和(2+1)维分数阶Burgers方程的精确求解方法.本文分如下五个章节: 第一章绪论,介绍了数学机械化的发展过程和计算机代数,以及分数阶导数的由来和国内外研究现状,同时给出了本文大体的组织结构. 第二章是预备知识,给出了几类常用的分数阶导数和分数阶积分的定义及性质. 第三章,给出改进的分数阶Riccati子方程理论.子方程理论的核心是依照数学知识构造出要求的方程的解,然后通过做变换把原复杂非线性分数阶微分方程化成分数阶常微分方程,再用齐次平衡法确定多项式的次数,然后用软件求解出变量前的系数,就得到了原方程的一组解,构造出的解的形式不同,显然解也不同. 在第四章中我们给出了改进的分数阶Riccai子方程理论的应用.我们用此方法求解了几个分数阶微分方程(组)的精确解. 最后对本文的工作做了一下总结.


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