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分数阶微分方程数值方法分析

姚廷伟  
【摘要】: 分数阶微分方程是经典整数阶微分方程的推广,它是将整数阶的导数用分数阶导数来替换,分数阶微分方程在科学的不同领域已得到广泛的应用。因此,对它的研究也引起了人们广泛的关注。分数阶微积分方程与整数阶微积分方程相比较,其最重要的优势在于它能更好的模拟自然界的物理过程和动态系统过程。 目前主要研究的分数阶导数有Caputo分数阶导数和Riemann-Liouville分数阶导数,它们几乎同样的方式推广了经典导数。Riemann-Liouville分数阶导数要比Caputo分数阶导数对经典导数进行推广的更加完美,但它对初值的要求更为苛刻,当我们对分数阶微分方程的几何或物理解释不清楚时很难给出初值。Caputo分数阶导数对初值的要求比较简单,我们能够很容易给出它的初值。本篇论文中我们研究由Captuo给出的分数阶导数,讨论分数阶微分方程解对参数的依赖性以及数值处理方法。 本文的结构安排如下: 第一章首先回顾了分数阶微分方程的产生和近几十年的发展,通过引入一些具体的例子介绍了分数阶微分方程在不同领域的应用。详细通论了分数阶微分算子的定义和发展,并比较了他们之间的一些联系和区别。 第二章我们首先引入了分数阶微分方程解存在唯一的条件,在保证了解的存在唯一性条件的情况下,分别讨论了分数阶微分方程解对分数阶导数,初值条件,以及微分方程右端项的依赖性,并给出了相应的证明。 第三章针对于我们讨论的分数阶微分方程模型给出了一种预测校正方法,在给出的过程中,我们详细的论述了预测校正方法的构造过程,讨论了预测校正方法的误差界,并在理论上证明了我们给出的预测校正方法的误差。最后,我们通过一个数值算例验证了数值结果与理论分析有很好的吻合性,以及计算的可行性。


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