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广义4f系统本征函数理论及应用研究

赵辉  
【摘要】:经典分数傅里叶变换和线性正则变换理论及应用的研究是信息光学的一个热点研究方向,二者的光学引入使得人们可以用一个新的观点去审视光的传播、成像、信息处理等问题,并提供了新的工具去处理这些问题。在以经典分数傅里叶变换和线性正则变换为工具进行光学信息处理的过程中,广义4??系统是最典型的一种光学信息处理系统。光学系统的本征函数是通过该系统后除了一个常数增益外保持不变的复函数。如果系统的本征函数构成系统输入的正交基且此系统是线性的,则整个系统的作用就可以通过其本征函数简单而有效地描述。因此,光学系统的本征函数理论分析具有非常重要的意义。本文深入研究广义4??系统本征函数理论,讨论广义4??系统本征函数及相应本征值的性质和数值计算方法,借助本征函数分析广义4??系统和光学信号,为光学信息处理的进一步发展提供新的工具、方法及理论基础。 本文首先证明了广义4??系统的本征函数为广义扁长椭球波函数。给出了线性正则变换域带限信号空间的再生核函数并利用其特殊性质给出了此空间的两组采样基,从而得到了线性正则变换域带限信号的均匀和非均匀采样定理。此外,借助计算机仿真模拟验证了所给采样定理的正确性与有效性。 随后,借助采样理论研究了广义4??系统本征函数理论。通过将连续本征问题转化为等价的离散本征问题,得到了广义4??系统本征函数系在线性正则变换域带限信号空间上的正交基性质;利用算子理论给出了广义4??系统本征函数系在有限区间内能量有限信号空间上的正交基性质。此外,采样理论分析还给出了广义4??系统本征函数的数值计算方法及本征值的正实数性和近似阶梯性。计算机仿真模拟结果证实了所提计算方法的有效性。 借助广义4??系统的本征函数描述了广义4??系统对系统输入的作用,给出了系统的空间带宽积和逆问题的求解方法;讨论了广义4??系统的能量保持率问题,证明了零阶广义扁长椭球波函数及其空限形式分别是线性正则变换域带限信号空间和能量有限信号空间中通过广义4??系统后能量损失最小的信号,并分别给出了其能量保持率。此外,还指出零阶广义扁长椭球波函数是所有线性正则变换域带限信号中在空域具有最大能量聚集性的信号。 最后,借助广义4??系统的本征函数分析了光学信号。给出了线性正则变换域带限信号基于广义扁长椭球波函数的采样定理和外推方法,并借助计算机仿真模拟结果证实了所得结果的正确性和有效性;给出了线性正则变换域带限信号基于有限非均匀采样的最小均方误差重构公式及迭代算法,讨论了最小均方误差重构的性质,结果表明:通过最小均方误差重构可以尽可能近似地恢复原连续信号。


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