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若干典型动力系统的同伦级数解

杨天智  
【摘要】:数值方法和解析方法是人们求解非线性方程的两种常用手段。由于大多数非线性问题无法找到精确解,人们不得不寻求近似解析解。寻找近似解析解的最常用方法是摄动方法。它在弱非线性问题上得到了广泛的应用,解决了许多经典非线性难题。但是由于其根本思想是依赖于小参数假设,所以摄动方法对大多数强非线性问题失效。同伦分析方法是最近提出的处理非线性问题的近似解析方法。它不依赖于小参数假设,无论研究的对象是强非线性还是弱非线性,都可以在该方法的理论框架中获得高阶近似解析解。本文以一些典型的强非线性系统为研究对象,以同伦分析方法为主要工具,研究了这些动力系统的近似解析解。这些动力系统来自于:湍流理论、混沌动力系统、分数阶导数动力系统和非线性振动等领域。 首先我们将同伦分析方法应用到湍流理论中的两个Kolmogorov方程。它们是具有分数多项式的强非线性常微分方程,据文献记载和本文调研结果,第一个Kolmogorov方程一直没有找到解析解。我们对这两个方程分别应用了同伦分析方法,找到了它们的近似解析解。这两个解析解都十分简明,并且与数值解吻合。并且对于第二个Kolmogorov方程,虽然Obukhoff和Yaglom等曾经给出过一个近似解,但是它的收敛范围很小。本文得到的第二个方程的解在Obukhoff和Yaglom等人给出的近似解的基础上增加了一个修正项,使其收敛范围可以扩展,并且准确性得以提高。 其次,本文探索了如何用解析方法寻找混沌吸引子的解析表达式。我们将多步同伦分析方法应用到Lorenz系统族中的Lü系统、统一混沌系统和Liu系统中。对这三个系统,我们得到了混沌吸引子的解析表达式。用该表达式重新构造了系统的蝴蝶型混沌吸引子。经过数值验证,本文的解析表达式对混沌吸引子的构造是在自变量0t5范围内是准确的;随着系统参数的变化,我们也用解析方法构造了Liu系统的极限环。在自变量0t100范围内,解析解与数值解构造的极限环吻合良好。 本文也考察了用解析方法来寻找分数导数动力系统的解析解。研究了分数阶Lorenz系统的混沌吸引子的解析表达式、分数阶Brusselator系统极限环的解析表达式和分数导数Logistic方程的近似解析解。结果表明,本文的同伦级数解可以构造出分数阶Lorenz系统的混沌吸引子。但是研究结果同时表明,随着分数导数值的降低,同伦级数解的误差也在增大。对于分数导数Logistic方程,由于其强非线性和分数导数的共同影响,一直以来文献中只有数值研究的结果。我们用同样的方法找到了其近似解析解,所得结果与原始文献所有数值结果一致。 最后,我们考察了用同伦分析方法分析一些工程强非线性振动问题。对于轴向运动梁和轴向运动弦线的非线性振动,本文的同伦级数解对强和弱非线性振动情形均一致有效;在对一种摆长周期变化的单摆的非线性振动分析中,本文给出的同伦分析解解决了以往传统摄动解在长时间历程无法一致有效的问题。


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