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若干类变指数增长椭圆型方程解的存在性

于美  
【摘要】:近十几年来,对于变指数函数空间的研究已经吸引了越来越多的学者.随着弹性力学和流体力学等领域的发展,变指数函数空间表现出其实用性.例如许多学者在研究弹性力学等一些问题中,遇到具有p(x)-增长的泛函积分.对于这类问题的研究,变指数函数空间提供了合适的理论框架.对具有p(x)-增长条件的微分方程以及相应的变分问题的研究已是众多学者研究的一个新的课题. 本文主要应用变指数Lebesgue空间Lp(x)(Ω)及Sobolev空间Wm,p(x)(Ω)理论,研究了一类奇异p(x)-Laplace方程,及高阶拟线性椭圆方程,其中ΩΩRN.对于奇异p(x)-Laplace方程的研究,我们讨论其相对应的能量泛函.对于高阶方程,我们构造一序列解函数,然后对其求极限.因为指数p(x)是Ω上的函数,所以在研究过程中,就出现一些新的困难,我们通过寻找新的技巧方法,得到我们所需要的结果. 本文主要研究以下内容: 1.对一类具有奇异项的p(x)-Laplace方程弱解的研究.我们研究与p(x)-Laplace方程相关的能量泛函I的临界点,随着增长指数的变化,应用山路定理,可以得到I的一个非平凡临界点u∈W01 ,p(x)(Ω),也就得到方程的非平凡弱解的存在性.应用Fountain定理,可以得到I的一序列非平凡临界点{un}ΩW01 ,p(x)(Ω),且I(un)→∞,从而也就得到了方程的弱解的多重性.应用Ekeland准则,也得到了I的一个非平凡临界点u∈W01 ,p(x)(Ω). 2.对一类具临界Sobolev-Hardy指数的p(x)-Laplace方程弱解的研究.我们首先依据变指数Sobolev空间W01 ,p(x)(Ω)上的一类集中紧致性原理,建立本文所需要的集中紧致性原理.然后利用建立的集中紧致性原理和Fountain定理,得到I的一序列非平凡临界点{un}ΩW01 ,p(x)(Ω),且I(un)→∞,从而得到了方程弱解的多重性. 3.对一类高阶拟线性椭圆方程Dirichlet边值问题的研究.我们构造了一个有限维子空间SJΩW0m ,p(x)(Ω),其中J是正整数.对每个固定的J,在空间SJ上,得到了所研究方程非平凡弱解的存在性.随着J的变化,就可得到一序列弱解{uJ}的存在性.利用空间SJ的性质,进一步就有uJ→u于W0m ,p(x)(Ω)中, u即为所研究方程在空间W0m ,p(x)(Ω)上的非平凡弱解. 4.对一类高阶拟线性椭圆方程的Neumann边值问题的研究.在空间Wm, p(x)(Ω)中,对每个固定的正整数n,先得到所构造方程的非平凡弱解un的存在性.随着n的变化,就得到该方程一序列弱解{un}的存在性.通过{un}性质,进一步就得到un→u于Wm,p(x)(Ω)中,u即为所研究方程在空间Wm,p(x)(Ω)上的非平凡弱解. 在本文中,对具有指数是p(x)-增长条件方程的研究比对相应具有指数是p-增长条件方程的研究更具有一般性,更适用于实际应用.


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