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两类传染病模型的数值解及全局稳定性

丁德琼  
【摘要】:接种是用来控制和预防某些传染病的重要措施。登革热已成为许多国家的地方病,严重危害人类的身体健康,被列入2005年修订的国际健康条例的附录中。因此,人们构造并研究了多种形式的具有接种免疫的传染病模型和登革热传染病模型。本文研究了其中两类具有代表性模型的数值解及多种群形式的全局动力学行为。 离散化模型不仅可以得到原连续系统解析解的有效逼近,而且能够更加有效地应用传染病统计数据。但是,离散化后系统的动力学行为是非常复杂的,选择怎样的数值方法使得离散化后的系统仍能保持原连续系统的动力学行为是一个非常重要的课题。然而,当连续系统的地方病平衡点是全局渐近稳定时,对于相应的数值离散系统,大部分只能证明系统是一致持久的,极少能证明地方病平衡点是全局渐近稳定的,甚至是局部稳定的结果也很少。 本文首先应用非标准差分方法构造了一个离散的接种传染病模型,得到了离散模型地方病平衡点的全局渐近稳定性。但是,该系统对原连续系统动力学行为的保持受步长的限制。当步长大于临界值时,数值实验表明,系统数值解的正性可能被破坏,甚至会出现周期二解,而且当步长增大到一定程度时,系统可能完全丧失稳定性。为了克服以上不足,本文通过变换非标准差分的形式构造了一个具有无条件正的离散化系统,并应用Lyapunov方法,证明了对任意的步长,当基本再生数大于1时,系统的地方病平衡点是全局渐近稳定的。 其次,本文通过Lyapunov方法得到了五维登革热模型的全局稳定性。随后,应用非标准差分方法构造了一个具有无条件正的离散化系统,得到当基本再生数小于等于1时,系统的无病平衡点是无条件全局渐近稳定的;当基本再生数大于1时,系统是一致持久的。本文又运用有限差分的方法构造了一个二阶离散系统,并得到当基本再生数小于1时,无病平衡点是无条件局部渐近稳定的,克服了由传统二阶方法构造的离散系统随着步长的增大会失去稳定性的不足。但是数值实验说明该二阶离散化系统不是无条件正的。所以,本文又将非标准差分和有限差分方法相结合构造了一个二阶非标准差分离散系统,该离散系统除具有前述方法的优势外,数值实验说明,通过适当地调整有关参数能够保证离散系统的解是无条件正的。 另一方面,从传染病的传播机理来看,对多种群传染病模型的研究是十分有必要的。然而,由于多种群传染病模型的规模比较大,形式比较复杂,所以对它们的研究工作进展比较缓慢,尤其是当基本再生数大于1时,地方病平衡点的存在唯一性与稳定性问题。本文研究了上述两类传染病的多种群形式,通过应用Lyapunov方法结合LaSalle不变集原理,得到当阈值小于1 (或0 )时,系统存在唯一的无病平衡点且是全局渐近稳定的;当基本再生数大于1 (或0 )时,系统除无病平衡点外,还存在唯一的地方病平衡点,此时,无病平衡点不稳定,地方病平衡点是全局渐近稳定的。从而,本文给出了这两类传染病模型的多种群形式能够保持单种群系统动力学行为的充分条件。


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