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关于求解概周期型微分方程的方法研究

解锐  
【摘要】:本文主要包括两个部分,第一部分讨论了微分方程x'(t)=Ax(t)+f(t)的求解方法,在历史上这样的方程很早就被提了出来并被许多数学家所研究。作为Bohr-Neugebauer定理的一个推论,当矩阵A的特征值实部不为零时,若f是Bohr意义下的概周期函数,则该方程存在唯一解x ,且解x也是Bohr意义下的概周期函数。一般的方法是将矩阵A化为上三角的形式,这样就可以逐次求解了,利用常数变异公式,得到解的表达形式,然后讨论解的有界性,由f的概周期性再讨论解的概周期性。而在求解的整个过程中要求矩阵A的特征值实部都不为零。而在本文中将矩阵A视为一个整体,可以看出矩阵A是某一算子半群的一个无穷小生成元。这样就可以用算子半群的方法来求解。当矩阵A的特征值实部都大于零或小于零时,方程存在唯一解。并讨论了当f是Besicovith意义下概周期函数时,当矩阵A的特征值和f的Fourier指数满足一定条件时,方程存在唯一解,且该解属于更小的概周期型函数空间。 第二部分主要研究了泛函方程x(t)=px(λt)+f(t),讨论了该方程解的存在唯一性,并得到了这样的结论:考虑基本空间为有界连续函数全体组成的空间时,当f是Bohr意义下的概周期函数时,该方程解的存在唯一性只依赖于p ,当p的模不等于1时,该方程有唯一解且该解也是Bohr意义下的概周期函数;基本空间为局部可积且Stepanov意义下有界的函数全体组成的空间时,该方程解的存在唯一性依赖于p和λ,当λ大于零, p的模不等于λ时,该方程有唯一解且该解也是Stepanov意义下的概周期函数。


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