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基于绝对坐标有理有限元及与NURBS曲线关系的研究

於祖庆  
【摘要】:随着计算机技术的快速发展,计算机辅助设计(CAD)和计算机辅助分析(CAA)在工程应用中扮演了越来越重要的角色。然而,当今的CAD和CAA软件对于几何体的描述采用的是两种截然不同的方法。这种不兼容使得把CAD软件中建立的参考几何体导入到CAA软件中进行分析计算的过程非常困难。而一种新型的有限元——基于绝对坐标的有限元(ANCF)与计算机图形学中的描述方法是相容的。为了精确的表示圆和圆锥曲线,必须将其推广到有理的情况。本课题通过研究NURBS曲线和基于绝对坐标的有理有限元表达(RANCF)的相互转化关系来达到整合CAD和CAA的目的,从而减少从CAD几何体到CAA模型的转化时间,提高分析效率。 本文基于ANCF有限元表示Bezier曲线的方法,利用有理Bezier曲线的端点性质,构造了基于绝对坐标的有理有限元(RANCF),给出了RANCF有限元的齐次坐标表示以及齐次坐标空间内的结点坐标与欧式空间内的结点坐标的关系。推导了用RANCF有限元表示低阶有理Bezier曲线的方法,给出了进行转化需要满足的条件。该转化条件与Bezier曲线的升阶算法是等价的。举例说明了三次有理Bezier曲线在不同的权系数下表现出的不同的性质,表明了权系数对RANCF有限元的重要影响,体现出了RANCF有限元不同于ANCF有限元的独特性质。 Bezier曲线向RANCF有限元的转化是NURBS曲线转化的基础。利用NURBS曲线的节点插入算法,建立了NURBS曲线分段转化为RANCF有限元的方法。而后推导证明了两个任意长度的ANCF有限元在连接点处具有三阶连续性时,连接点处的结点坐标通过线性约束方程的方式被删除,两个单元合成了一个较大的单元。文章给出了利用NURBS曲线断点进行整体转化时RANCF有限元长度与曲线参数之间需要满足的条件。举例说明了从RANCF有限元向NURBS曲线逆转化的方法。逆转化中检验单元之间连续性是否满足要求的过程与NURBS曲线的节点删除算法是等价的。这进一步证明了RANCF有限元与NURBS方法的兼容性。 文章推导了RANCF有限元的动力学方程,以圆为应用对象给出了其NURBS构造法和RANCF有限元的表示法。最后以悬臂梁的动力学响应验证了关于ANCF有限元连续性的推导,以柔性圆形摆的自由摆动证明了RANCF有限元的准确性和收敛性。


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