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几类发展方程的概周期型广义解

刘俊伟  
【摘要】:众所周知,发展方程在生物学、化学、物理学和工程学等领域有很多应用。脉冲发展方程描述了一类经历突变的发展方程,这些突变都是瞬时发生的,脉冲随机发展方程是随机发展方程经历脉冲扰动得到的。脉冲发展方程结合了微分方程和差分方程的性质,更深刻、更精确地反映事物的发展规律。因此,发展方程的相关问题得到了广泛的关注,尤其是对发展方程广义解的存在性及稳定性的研究。 丹麦数学家H. Bohr于20世纪20年代提出了概周期函数的概念,因为概周期函数不但具有周期函数的性质,而且还有许多其他特性,概周期函数比周期函数能在更广范围内较好地刻画客观现象。所以,概周期函数一经提出,就吸引了许多数学工作者的关注。目前,概周期函数理论研究主要包含概周期函数的推广和概周期型函数在方程领域的应用,而后者侧重于对方程的概周期型解的存在唯一性及稳定性的研究。 基于以上原因,关于发展方程特别是脉冲发展方程和脉冲随机发展方程的概周期型广义解研究也变得越来越重要了。本论文的主要研究工作如下: 首先,给出逐段概周期函数的一些复合性质,并将其应用到脉冲发展方程中,研究一类脉冲发展方程逐段概周期广义解的存在性及稳定性。到目前为止,对脉冲发展方程逐段概周期广义解的存在性研究大多是使用压缩映射定理,而这需要扰动函数满足Lipschitz连续的条件。本文给出逐段连续函数集相对紧的一个等价定义,利用Schauder不动点定理证明逐段概周期广义解的存在性,这种方法克服了对扰动函数满足Lipschitz连续条件的限制。另外,还利用广义Gronwall-Bellman引理对逐段概周期广义解的稳定性进行了探讨。 其次,在逐段连续函数空间中引入伪概周期函数,定义逐段伪概周期函数,讨论逐段伪概周期函数的等价定义、唯一分解性、平移不变性及复合性质等,并给出一类脉冲发展方程逐段伪概周期广义解的存在性及稳定性。逐段伪概周期函数是逐段概周期函数和伪概周期函数的推广,它能在更广范围内较好地刻画客观现象。 最后,给出逐段平方平均概周期函数的复合性质,分别使用Schauder不动点定理和压缩映射定理证明两类脉冲随机发展方程的逐段平方平均概周期广义解的存在性及稳定性。 简言之,本论文研究向量值概周期型函数的性质,并将其应用到脉冲发展方程和脉冲随机发展方程领域,探讨了脉冲发展方程和脉冲随机发展方程的概周期型广义解的存在性及稳定性,丰富了概周期函数理论,拓宽了概周期函数理论的应用范围。


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