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基于Moreau包络函数的复合优化增广拉格朗日对偶及算法

阚超  
【摘要】:增广拉格朗日方法是处理最优化问题的一种重要方法,在理论研究和数值计算方面表现出的良好的性质使其在多个领域得到广泛应用.本文以复合优化问题为研究对象,通过建立增广拉格朗日对偶理论,得到增广拉格朗日乘子存在的一阶、二阶条件.特别地,将所得的部分结果应用于集合包含约束优化问题和本征值复合优化问题,得到了相应的二阶条件.在二阶充分条件假设下,进一步讨论了集合包含约束优化问题的一种非精确增广拉格朗日算法,证明了算法的局部收敛性及收敛速度.利用Moreau包络函数去表示增广拉格朗日函数是本文的特点之一.因此,文章最后研究了推广到Bregman距离意义下的Moreau包络函数的基本性质及应用.本文的主要内容概括如下: 1.给出了复合优化问题的增广拉格朗日对偶,得到了相应的对偶定理,阐述了增广拉格朗日乘子的存在性与对偶间隙为零的关系,并将原问题与对偶问题的最优解刻画成增广拉格朗日函数的鞍点. 2.基于Moreau包络函数,得到了增广拉格朗日函数的一种新表示方法,并以此刻画了标准拉格朗日乘子集合,得出增广拉格朗日乘子与标准拉格朗日乘子之间的关系.利用增广拉格朗日函数的新表达形式及其二阶上图导数,给出了增广拉格朗日乘子存在的二阶条件.将部分结果应用于集合包含约束优化问题和本征值复合优化问题,得到了具体问题下的二阶条件.讨论了增广拉格朗日乘子发生扰动时,最优解集合的稳定性. 3.给出了带有集合包含约束的优化问题的增广拉格朗日乘子法,得到了一个有关广义方程解集合的误差界定理.在二阶充分条件假设下,研究了算法的局部收敛性以及收敛速度. 4.用Bregman距离代替Moreau包络函数中的度量距离,得到了推广的包络函数.在非凸的情况下,讨论包络函数的连续性,可微性,Clarke正则性,以及相应的渐近映射的上半连续性和单值性.


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