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几类随机泛函微分方程数值解的收敛性和稳定性

张伟  
【摘要】:在自然界和日常生活中,许多事物的变化不仅受到当时状态的影响,还要受到过去的历史状态以及随机因素的影响。为了更精确的描述客观世界,在控制论、金融学、物理学、生物学、医学、神经网络及地理等各领域中提出了越来越多类型的随机泛函微分方程。由此可见对随机泛函微分方程的研究尤为必要。鉴于非线性随机泛函微分方程求解的复杂性,寻求适当的数值算法求解相应的数值解既具有重大的理论意义又有广泛的应用价值。本文主要研究几类随机泛函微分方程的精确解性质及数值方法的收敛性、稳定性。本文主要研究的内容如下:第一章介绍了随机微分方程(SDEs)和随机泛函微分方程(SFDEs)的背景,综述SDEs和SFDEs的理论分析以及数值分析的研究现状,简要介绍了本文的主要工作。第二章讨论系数满足全局Lipschitz条件的随机时滞微分方程(SDDEs)θ方法的小阶矩(p∈(0,1))收敛性和稳定性。首先,分析θ方法的p阶矩有界性和强收敛性,进而利用收敛性,建立方程精确解p阶矩指数稳定性与θ方法的p阶矩指数稳定性的等价关系。最后给出SDDEs和θ方法是几乎必然稳定的充分条件。第三章针对系数满足局部Lipschitz条件和Khasminskii型条件的SFDEs,首先构造截断Euler-Maruyama方法。其次考虑该方法的p阶矩有界性。然后研究该方法在Lq意义(2≤qp,p为Khasminskii型条件中的常数)下的强收敛性。最后在漂移项系数满足单边Lipschitz条件、多项式增长条件和扩散项系数满足全局Lipschitz条件时给出收敛阶。第四章针对漂移项系数f=F+F1和扩散项系数g=G+G1的SDDEs,当F1和G1满足全局Lipschitz条件,F和G满足多项式增长和Khasminskii型条件时,构造部分截断Euler-Maruyama方法;考虑该方法的p阶矩(p为Khasminskii型条件中的常数)有界性;进而分析该方法的强收敛性,同时给出收敛阶。第五章针对漂移项系数f=F+V和扩散项系数g=(g1,g2,···,gm)(gj=(Gj+Uj),j=1,2,···,m)的具有交换噪声的SDEs,当V和Uj满足全局Lipschitz条件,F和Gj满足局部Lipschitz条件和Khasminskii型条件时,由于显式EulerMaruyama是不收敛的,而部分截断Euler-Maruyama方法的收敛阶仅为接近于1/2,本章首先构造显式部分截断Milstein方法。其次讨论该方法的p阶矩有界性和该方法的均方强收敛性。然后在F和Gj满足多项式增长条件时给出接近于1的收敛阶。最后,给出该方法保持精确解均方指数稳定的充分条件。


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