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再生核空间中若干非线性问题的研究

杨丽宏  
【摘要】:在科学和工程的各个领域中,许多问题都可用非线性方程来描述。而获得非线性方程的解(数值解和精确解)将有助于人们展开对它所反映的现实自然现象进行分析和研究。所以,本文在非线性方程求解方面进行了如下的研究。 首先对崔明根教授于1986年提出的再生核空间进行了研究。利用一维再生核空间的直积形式构造了二维再生核空间,获得了二维空间中再生核函数的表达式,并将其推广到多维再生核空间的构造。从而为求解各种方程建立了空间的理论框架。 其次,在再生核空间W_2~1[a,b]中,给出了非线性算子方程A_1(vBv)+A_2v=f的精确解。利用再生核函数的特殊性质和升元的方法,构造了定义在再生核空间W_1(Ω)上的有界线性算子,使得非线性算子方程等价的转化为线性算子方程Tu=f当线性算子方程解唯一的情况下,获得了非线性方程解的精确表述。数值算例验证了该算法的有效性。 将上面的结论推广,本文在二维再生核空W_2(Ω)中,研究了Av~2+Kv+Pv+Ev=f型的非线性积分微分方程。同样将其转化为四维再生核空间中的线性算子方程进行求解。当线性方程解不唯一时,本文研究了该线性方程的齐次方程解空间的表示,并给出了其上的一组标准正交基。因此获得了线性方程的全部解。再利用两个方程解之间的关系,得到了求解非线性方程近似解的数值算法。数值试验模拟验证了算法的有效性。 另外,以实际问题-黑体辐射为例证明,对于第一类Fredholm积分方程,当积分核函数满足一定条件时,该不适定问题在再生核空间中已经变为适定问题求解。同时在再生核空间W_2~1[a,b]中给出了一种求解该问题的稳定数值算法。对实际数据用该算法进行数值模拟,并与以前的工作相比较,得到了较好的结果。 最后,在再生核空间中,本文对非线性偏微分方程进行了研究。考虑了一类非线性双曲型偏微分方程。先将方程两边积分降低求解空间的要求,再利用初始条件线性化方程进而获得非线性方程的一组形式解。注意到使用再生核函数构造的空间基底函数具有分离形式,从而得到确定非线性方程近似解的数值算法。进行数值实验后,计算结果表明算法是有效的。 本文还在再生核空间中考虑了一类非线性发展方程。利用其初始条件构造线性算子,并通过求解线性方程获得原来非线性方程的形式解,将其带入原方程,使余项函数在再生核空间范数意义下达到最小,进而获得非线性方程的数


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