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并行对角隐式Runge-Kutta算法在微分方程中的应用

苏欢  
【摘要】: 微分方程数值解出现在许多重要的科学、工程实际应用领域。因为考虑到实际中遇到问题非常大,响应的时间非常重要,所以微分方程初值问题的并行算法的需求也在不断增长。 本论文主要工作是将常微分方程(ODEs)的并行算法进行推广。我们借鉴常微分方程初值问题的并行对角隐式Runge-Kutta算法的思想。分别针对积分微分方程(IDEs)初值问题、延迟微分方程(DDEs)初值问题和延迟积分微分方程(DIDEs)初值问题,建立了不同的并行对角隐式Runge-Kutta(PDIRK)算法。 首先,我们回顾了常微分方程初值问题的PDIRK方法。 其次,我们考虑积分微分方程初值问题。先引进新的变量来代替积分项,使积分微分方程化为高阶常微分方程,再用类似常微的方法解该问题。 最后,我们将常微分方程初值问题推广到具有常延迟的微分方程上,建立了DDEs和DIDEs的并行Runge-Kutta方法。由于延迟微分方程的初始条件为[t_0-τ,t_0]间的连续函数,从而在[t_0,t_0+τ]上,我们可以把延迟方程看成常微分方程,再应用PDIRK方法,得到[t_0,t_0+τ]上的数值,利用得到结果作为初始条件,可以得到[t_0+τ,t_0+2τ]上的数值解,依次类推,我们得到延迟微分方程在整个区间上的数值解。 我们严格推导了每种方法的收敛阶和稳定性,并应用具体的算例进行检验,结果说明这些方法是可行、有效的。


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